積み木の積み上げ問題
積み木を積み重ねると最大でどれだけずらせることが出来るのか？
4枚カード問題(ウェイソン選択課題)
仮説を検証するにはどのカードの裏面を確認する必要があるか？
床関数の総和の2乗の定積分
\[\int_{0}^{1}\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left\lfloor 2^{k}x\right\rfloor }{3^{k}}\right)^{2}dx=?\]
1-1+1-1+…と続く総和
\[\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k+1}=\frac{1}{2}+\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2}\]
対数を含む積分
\[\int\log\left(x\right)f\left(x\right)dx=\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}f\left(x\right)dx\right]_{t=0}\]
指数関数の実部と虚部
\[\left|\alpha^{\beta}\right|=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)}\]
対数の指数exp(Log(z))と指数の対数Log(exp(z))の違い
\[\Re\left(z\right)+i\mod\left(\Im\left(z\right),-2\pi,\pi\right)=\Log\left(\exp\left(z\right)\right)\]
複素数の実部と虚部
\[\Re\left(-z\right)=-\Re\left(z\right)\]
実数での上界・下界・有界・最大値・最小値の定義
\[\left(\exists x\in A,\forall a\in A,a\leq x\right)\Leftrightarrow\max A=x\]
チェザロ平均と上限・下限・上極限・下極限の大小関係
\[\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}\]
級数が収束するならチェザロ平均の極限は存在
\[\exists a\in\left[-\infty,\infty\right],\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a\]
チェザロ総和とチェザロ平均の定義
\[m_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{n}\]
上限・下限と上極限・下極限の積の大小関係
\[\left(\sup_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\inf_{x\in I}g\left(x\right)\right)\leq\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\]
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の積
\[\forall x\in I,0\leq f\left(x\right),0\leq g\left(x\right)\Rightarrow\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)\leq\left(\sup_{x\in I}f\left(x\right)\right)\left(\sup_{x\in I}g\left(x\right)\right)\]
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の和
\[\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)\leq\sup_{x\in I}f\left(x\right)+\sup_{x\in I}g\left(x\right)\]
極限と上極限・下極限との関係
\[\exists a\in\left[-\infty,\infty\right],\left(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\leftrightarrow\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\right)\]
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の定数倍
\[\sup_{x\in I}\left(cf\left(x\right)\right)=\begin{cases}c\sup_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & c>0\\c\inf_{x\in I}\left(f\left(x\right)\right) & c<0\\0 & c=0\end{cases}\]
上限と下限・最大元と最小元・上極限と下極限との関係
\[\inf_{x\in I}\left(-f\left(x\right)\right)=-\sup_{x\in I}f\left(x\right)\]
上極限・下極限は存在
単調減少数列・単調増加数列の極限・上限・下限は存在
実関数・実数列の上極限と下極限の定義
\[\limsup_{x\rightarrow\alpha}f\left(x\right):=\lim_{\delta\rightarrow+0}\sup_{x\in B\left(\alpha,\delta\right)}f\left(x\right)\]