根号の中に根号がある整数問題
\[\sqrt{n+\sqrt{n+7}}\in\mathbb{N},n=?\]
2乗同士の差が素数のときその差はいくつになる？
$m^{2}-n^{2}$が素数のとき、$m-n$は？
xのx乗がxになる方程式
\[x^{x}=x,x=?\]
3連続数字の積に１を足した根号
\[\sqrt{55\cdot56\cdot57+1}=?\]
気付かないと解けないかも
\[\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\left(1+x\right)\left(a^{2}+\log^{2}x\right)}dx=?\]
aのa乗にして解く問題
\[27^{x}x=1,x=?\]
2人の曜日と性別問題
子供が2人いて少なくとも1人は日曜日に生まれた男の子のとき、2人共男の子の確率は？
2枚のコインの裏表問題
2枚のコインを投げて少なくとも1枚が表のとき両方が表の確率は？
3次式の5乗を2次式で割った余り
$\left(x^{3}+x^{2}+x+1\right)^{5}$を$x^{2}-x+1$で割った余りは？
πとγがでてくる定積分
\[\int_{0}^{\infty}\frac{\sin\left(x\right)\log\left(x\right)}{x}dx=?\]
分母分子にべき乗があり分母には定数が足されている定積分
\[\int_{0}^{\infty}\frac{x^{a}}{c+x^{b}}dx=\frac{c^{\frac{a+1}{b}-1}}{b}\pi\sin^{-1}\left(\frac{a+1}{b}\pi\right)\]
毒入りワイン
毒入りワインを特定するのに何人が必要？
ルートiが無限に続くといくつになる？
\[\sqrt{i\sqrt{i\sqrt{i\sqrt{\cdots}}}}=?\]
逆3角関数の積の方程式
\[\Sin^{\bullet}x\Cos^{\bullet}x=\frac{\pi^{2}}{18},x=?\]
2番目に大きい数字
2番目に大きい数字を選んだ人が勝つゲームはどうなる？
1と3角関数・双曲線関数(半角の公式の拡張)
\[1+\sin z=\left(\cos\frac{z}{2}+\sin\frac{z}{2}\right)^{2}\]
sinとcosの5乗が1になる方程式
\[\sin^{5}x+\cos^{5}x=1,x=?\]
γとπが出てくる定積分
\[\int_{0}^{\infty}e^{-x}\log^{2}\left(x\right)dx=?\]
3角関数と3角関数の対数の積分
\[\int\sin\left(z\right)\log\left(\sin z\right)dz=-\cos z\log\sin z+\cos z+\log\left(\sin\frac{z}{2}\right)-\log\left(\cos\frac{z}{2}\right)+C\]
ガウス積分の応用
\[\int_{0}^{\infty}x^{\gamma}e^{-\alpha x^{b}}dx=\frac{\alpha^{-\frac{1+\gamma}{b}}}{1+\gamma}\Gamma\left(\frac{1+\gamma}{b}+1\right)\]
(*)ガンマ関数と複素数
\[\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\theta}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz=\Gamma\left(\alpha\right)\]
べき乗を含む0から∞までの定積分
\[\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi,0<b\Rightarrow\int_{0}^{\infty}f\left(x,\alpha x^{b}\right)dx=\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\Arg\left(\alpha\right)}}f\left(\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}},t\right)t^{\frac{1}{b}-1}dt\]
積が非負実数のべき乗
\[\left(\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi\lor\Arg\left(\beta\right)\ne\pi\right)\land0\leq a\beta\rightarrow\left(\alpha\beta\right)^{\gamma}=\alpha^{\gamma}\beta^{\gamma}\]
ガウス積分の一般化
\[\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{b}}dx=\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}}\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right)\]
ガウス積分
\[\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\]
フレネル積分の級数表示
\[\int_{0}^{x}\sin\left(x^{2}\right)dx=\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}\frac{x^{4k+3}}{\left(2k+1\right)!\left(4k+3\right)}\]
フレネル積分の一般化
\[\int_{0}^{\infty}\sin\left(x^{a}\right)dx=\Gamma\left(\frac{1}{a}+1\right)\sin\frac{\pi}{2a}\]