2項係数の飛び飛びの総和
2項係数の飛び飛びの総和
\(n\in\mathbb{N}_{0},m\in\mathbb{N},l\in\mathbb{Z}\)とする。
\(n\in\mathbb{N}_{0},m\in\mathbb{N},l\in\mathbb{Z}\)とする。
(1)
\[ \sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(mn,mk-l\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(mn,mk+l\right) \](2)
\[ \sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(mn,mk+m-l\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(mn,mk+l\right) \](3)
\[ \sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(mn,mk+l\right)=\frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1}\left(1+\omega_{m}^{j}\right)^{mn}\left(\omega_{m}^{j}\right)^{-l} \]\(\omega_{n}\)は1の\(n\)乗根
\[ \omega_{n}=e^{\frac{2\pi}{n}i} \] である。
\[ \omega_{n}=e^{\frac{2\pi}{n}i} \] である。
\(m=3\)のとき
\(m=3\)として計算すると、\begin{align*} \sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(3n,3k+l\right) & =\frac{1}{3}\sum_{j=0}^{2}\left(1+\omega_{3}^{j}\right)^{3n}\left(\omega_{3}^{j}\right)^{-l}\\ & =\frac{1}{3}\left\{ \left(1+1\right)^{3n}+\left(1+\omega_{3}^{1}\right)^{3n}\left(\omega_{3}^{1}\right)^{-l}+\left(1+\omega_{3}^{2}\right)^{3n}\left(\omega_{3}^{2}\right)^{-l}\right\} \\ & =\frac{1}{3}\left\{ 2^{3n}+\left(-\omega_{3}^{2}\right)^{3n}\left(\omega_{3}^{2}\right)^{l}+\left(-\omega_{3}^{1}\right)^{3n}\left(\omega_{3}^{1}\right)^{l}\right\} \\ & =\frac{1}{3}\left\{ 2^{3n}+\left(-1\right)^{n}\left(\omega_{3}^{2}\right)^{l}+\left(-1\right)^{n}\left(\omega_{3}^{1}\right)^{l}\right\} \\ & =\frac{1}{3}\left\{ 2^{3n}+\left(-1\right)^{n}\left(\left(\omega_{3}^{2}\right)^{l}+\left(\omega_{3}^{1}\right)^{l}\right)\right\} \end{align*} となる。
\(l=0\)とすると、
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}C\left(3n,3k\right) & =\sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(3n,3k\right)\\ & =\frac{1}{3}\left\{ 2^{3n}+\left(-1\right)^{n}\left(\left(\omega_{3}^{2}\right)^{0}+\left(\omega_{3}^{1}\right)^{0}\right)\right\} \\ & =\frac{2^{3n}+2\left(-1\right)^{n}}{3} \end{align*} となる。
\(l=1\)とすると、
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}C\left(3n,3k+1\right) & =\sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(3n,3k+1\right)\\ & =\frac{1}{3}\left\{ 2^{3n}+\left(-1\right)^{n}\left(\left(\omega_{3}^{2}\right)^{1}+\left(\omega_{3}^{1}\right)^{1}\right)\right\} \\ & =\frac{1}{3}\left\{ 2^{3n}+\left(-1\right)^{n}\left(\omega_{3}^{1}+\omega_{3}^{2}\right)\right\} \\ & =\frac{2^{3n}+\left(-1\right)^{n+1}}{3} \end{align*} となる。
\(l=2\)とすると、(2)より、
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}C\left(3n,3k+2\right) & =\sum_{k=0}^{\infty}C\left(3n,3k+1\right)\\ & =\frac{2^{3n}+\left(-1\right)^{n+1}}{3} \end{align*} となる。
\(m=4\)のとき
\(m=4\)として計算すると、\begin{align*} \sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(4n,4k+l\right) & =\frac{1}{4}\sum_{j=0}^{3}\left(1+\omega_{4}^{j}\right)^{4n}\left(\omega_{4}^{j}\right)^{-l}\\ & =\frac{1}{4}\sum_{j=0}^{3}\left(1+i^{j}\right)^{4n}\left(i^{j}\right)^{-l}\\ & =\frac{1}{4}\left\{ 2^{4n}+\left(1+i\right)^{4n}i^{-l}+0^{4n}\left(-1\right)^{-l}+\left(1-i\right)^{4n}\left(-i\right)^{-l}\right\} \\ & =\frac{1}{4}\left\{ 2^{4n}+\left(\sqrt{2}e^{\frac{\pi}{4}i}\right)^{4n}i^{-l}+\left(-1\right)^{-l}\delta_{0,n}+\left(\sqrt{2}e^{-\frac{\pi}{4}i}\right)^{4n}\left(-i\right)^{-l}\right\} \\ & =\frac{1}{4}\left\{ 2^{4n}+\left(-1\right)^{n}2^{2n}i^{-l}+\left(-1\right)^{-l}\delta_{0,n}+\left(-1\right)^{n}2^{2n}\left(-i\right)^{-l}\right\} \\ & =\frac{1}{4}\left\{ 2^{4n}+\left(-1\right)^{n}2^{2n}\left(i^{l}+i^{-l}\right)+\left(-1\right)^{-l}\delta_{0,n}\right\} \\ & =2^{4n-2}+\left(-1\right)^{n}2^{2n-2}\left(i^{l}+i^{-l}\right)+\frac{\left(-1\right)^{-l}}{4}\delta_{0,n} \end{align*} となる。
\(l=0\)とすると、
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}C\left(4n,4k\right) & =\sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(4n,4k\right)\\ & =2^{4n-2}+\left(-1\right)^{n}2^{2n-2}\left(1+1\right)+\frac{1}{4}\delta_{0,n}\\ & =2^{4n-2}+\left(-1\right)^{n}2^{2n-1}+\frac{1}{4}\delta_{0,n} \end{align*} となる。
\(l=1\)とすると、
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}C\left(4n,4k+1\right) & =\sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(4n,4k+1\right)\\ & =2^{4n-2}+\left(-1\right)^{n}2^{2n-2}\left(i-i\right)-\frac{1}{4}\delta_{0,n}\\ & =2^{4n-2}-\frac{1}{4}\delta_{0,n} \end{align*} となる。
\(l=2\)とすると、
\begin{align*} \sum_{k=0}^{n}C\left(4n,4k+2\right) & =\sum_{k=-\infty}^{n}C\left(4n,4k+2\right)\\ & =2^{4n-2}+\left(-1\right)^{n}2^{2n-2}\left(i^{2}+i^{-2}\right)+\frac{\left(-1\right)^{-2}}{4}\delta_{0,n}\\ & =2^{4n-2}-\left(-1\right)^{n}2^{2n-1}+\frac{1}{4}\delta_{0,n} \end{align*} となる。
\(l=3\)とすると、(2)より、
\begin{align*} \sum_{k=0}^{n}C\left(4n,4k+3\right) & =\sum_{k=0}^{\infty}C\left(4n,4k+1\right)\\ & =2^{4n-2}-\frac{1}{4}\delta_{0,n} \end{align*} となる。
(1)
\begin{align*} \sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(mn,mk-l\right) & =\sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(mn,mn-\left(mk-l\right)\right)\\ & =\sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(mn,m\left(n-k\right)+l\right)\\ & =\sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(mn,mk+l\right)\cmt{k\rightarrow n-k} \end{align*}(2)
(1)より、\begin{align*} \sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(mn,mk+m-l\right) & =\sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(mn,m\left(k+1\right)-l\right)\\ & =\sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(mn,mk-l\right)\cmt{k+1\rightarrow k}\\ & =\sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(mn,mk+l\right) \end{align*}
(3)
\[ \sum_{k=0}^{n-1}\left(\omega_{n}^{k}\right)^{m}=n\delta_{0,\mod\left(m,n\right)} \] が成り立つので、\begin{align*} \sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(mn,mk+l\right) & =\sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(mn,k\right)\delta_{0,\mod\left(k-l,m\right)}\\ & =\sum_{k=-\infty}^{\infty}C\left(mn,k\right)\frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1}\left(\omega_{m}^{j}\right)^{k-l}\\ & =\frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1}\sum_{k=0}^{\infty}C\left(mn,k\right)\left(\omega_{m}^{j}\right)^{k-l}\\ & =\frac{1}{m}\sum_{j=0}^{m-1}\left(1+\omega_{m}^{j}\right)^{mn}\left(\omega_{m}^{j}\right)^{-l} \end{align*} となるので与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 2項係数の飛び飛びの総和 |
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2項係数の微分
\[
\frac{d}{dx}C(x,y) =C(x,y)\left(\psi(1+x)-\psi(1+x-y)\right)
\]
2項係数を含む総和
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k}C\left(n,k\right)}{m+k}=\frac{1}{mC\left(m+n,m\right)}
\]
パスカルの法則の一般形
\[
C\left(x+n,y+n\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)C\left(x,y+k\right)
\]
2項係数の2乗和
\[
\sum_{j=0}^{m}C^{2}(m,j)=C(2m,m)
\]