分母の形に気付くかな
分母の形に気付くかな
次の総和を求めよ。
\[ \sum_{k=0}^{n}\frac{k!}{k!+\left(n-k\right)!}=? \]
次の総和を求めよ。
\[ \sum_{k=0}^{n}\frac{k!}{k!+\left(n-k\right)!}=? \]
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{n}\frac{k!}{k!+\left(n-k\right)!} & =\frac{1}{2}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{k!}{k!+\left(n-k\right)!}+\sum_{k=0}^{n}\frac{\left(n-k\right)!}{\left(n-k\right)!+k!}\right)\\
& =\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n}\frac{k!+\left(n-k\right)!}{k!+\left(n-k\right)!}\\
& =\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n}1\\
& =\frac{n+1}{2}
\end{align*}
ページ情報
タイトル | 分母の形に気付くかな |
URL | https://www.nomuramath.com/oixlywtk/ |
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2項係数の3の倍数の総和
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C\left(3n,3k\right)=?
\]
分母にルート同士の和がある総和
\[
\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{28}+\sqrt{29}}+\frac{1}{\sqrt{29}+\sqrt{30}}=?
\]
分母に総和がある数の総和
\[
\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\cdots=?
\]
2項係数の対称性を使います
\[
\sum_{k=0}^{n}kC^{2}\left(n,k\right)=?
\]