関数の偶奇分解
関数の偶奇分解
任意の関数\(f\left(x\right)\)は偶関数\(f_{e}\left(x\right)\)と奇関数\(f_{o}\left(x\right)\)の和で表すことができ、
\[ f\left(x\right)=f_{e}\left(x\right)+f_{o}\left(x\right) \] と表せる。
ここで、\(f_{e}\left(x\right),f_{o}\left(x\right)\)は
\[ \begin{cases} f_{e}\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)+f\left(-x\right)}{2}\\ f_{o}\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)-f\left(-x\right)}{2} \end{cases} \] である。
任意の関数\(f\left(x\right)\)は偶関数\(f_{e}\left(x\right)\)と奇関数\(f_{o}\left(x\right)\)の和で表すことができ、
\[ f\left(x\right)=f_{e}\left(x\right)+f_{o}\left(x\right) \] と表せる。
ここで、\(f_{e}\left(x\right),f_{o}\left(x\right)\)は
\[ \begin{cases} f_{e}\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)+f\left(-x\right)}{2}\\ f_{o}\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)-f\left(-x\right)}{2} \end{cases} \] である。
偶関数かつ奇関数になることと、\(f\left(x\right)=0\)は同値である。
なぜなら\(\Rightarrow\)は任意の\(x\)に対し、\(f\left(x\right)=f\left(-x\right)\land f\left(x\right)=-f\left(-x\right)\)とならなければいけないので、\(f\left(x\right)=-f\left(x\right)\)となり、これより、\(f\left(x\right)=0\)となるからである。
\(\Leftarrow\)は\(f\left(x\right)=0\)のときは\(f\left(x\right)=f\left(-x\right)\land f\left(x\right)=-f\left(-x\right)\)を満たすので偶関数かつ奇関数になるからである。
これより、\(\Rightarrow\)も\(\Leftarrow\)も満たすので\(\Leftrightarrow\)となる。
なぜなら\(\Rightarrow\)は任意の\(x\)に対し、\(f\left(x\right)=f\left(-x\right)\land f\left(x\right)=-f\left(-x\right)\)とならなければいけないので、\(f\left(x\right)=-f\left(x\right)\)となり、これより、\(f\left(x\right)=0\)となるからである。
\(\Leftarrow\)は\(f\left(x\right)=0\)のときは\(f\left(x\right)=f\left(-x\right)\land f\left(x\right)=-f\left(-x\right)\)を満たすので偶関数かつ奇関数になるからである。
これより、\(\Rightarrow\)も\(\Leftarrow\)も満たすので\(\Leftrightarrow\)となる。
偶関数では\(f\left(-x\right)=f\left(x\right)\)が成り立つので、
\[ f\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)+f\left(-x\right)}{2}+\frac{f\left(x\right)-f\left(-x\right)}{2} \] となる。
右辺1項は
\[ \frac{f\left(x\right)+f\left(-x\right)}{2}=\frac{f\left(-x\right)+f\left(x\right)}{2} \] となるので偶関数となる。
右辺第2項は
\[ \frac{f\left(x\right)-f\left(-x\right)}{2}=-\frac{f\left(-x\right)-f\left(x\right)}{2} \] となるので奇関数となる。
これより、
\[ \begin{cases} f_{e}\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)+f\left(-x\right)}{2}\\ f_{o}\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)-f\left(-x\right)}{2} \end{cases} \] と表すと、
\[ f\left(x\right)=f_{e}\left(x\right)+f_{o}\left(x\right) \] となる。
\[ f\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)+f\left(-x\right)}{2}+\frac{f\left(x\right)-f\left(-x\right)}{2} \] となる。
右辺1項は
\[ \frac{f\left(x\right)+f\left(-x\right)}{2}=\frac{f\left(-x\right)+f\left(x\right)}{2} \] となるので偶関数となる。
右辺第2項は
\[ \frac{f\left(x\right)-f\left(-x\right)}{2}=-\frac{f\left(-x\right)-f\left(x\right)}{2} \] となるので奇関数となる。
これより、
\[ \begin{cases} f_{e}\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)+f\left(-x\right)}{2}\\ f_{o}\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)-f\left(-x\right)}{2} \end{cases} \] と表すと、
\[ f\left(x\right)=f_{e}\left(x\right)+f_{o}\left(x\right) \] となる。
ページ情報
| タイトル | 関数の偶奇分解 |
| URL | https://www.nomuramath.com/hyr1ds00/ |
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偶関数・奇関数の定積分
$f\left(x\right)$が偶関数ならば$\int_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=2\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx$
偶関数・奇関数の和・積
\[
\text{奇関数}+\text{奇関数}=\text{奇関数}
\]
偶関数・奇関数の導関数
偶関数の導関数は奇関数になる。
偶関数・奇関数の定義
\[
f\left(-x\right)=\pm f\left(x\right)
\]