分母に1次式がある方程式の厳密解
分母に1次式がある方程式の厳密解
\(a,b,c,d,x\in\mathbb{R}\)とするとき、次の方程式の解は次のようになる。
\[ \frac{a}{bx-c}=d\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{c}{b}\right\} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & \left(a=0\land b\ne0\land d\ne0\right)\lor\left(b=0\land c=0\right)\lor\left(b=0\land c\ne0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(a\ne0\land d=0\right) \end{cases} \]
\(a,b,c,d,x\in\mathbb{R}\)とするとき、次の方程式の解は次のようになる。
\[ \frac{a}{bx-c}=d\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{c}{b}\right\} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & \left(a=0\land b\ne0\land d\ne0\right)\lor\left(b=0\land c=0\right)\lor\left(b=0\land c\ne0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(a\ne0\land d=0\right) \end{cases} \]
与式より、\(bx\ne c\)となり、\(b\ne0\)なら\(x\ne\frac{c}{b}\)、\(b=0\)なら\(c\ne0\)で\(x=x\in\mathbb{R}\)、\(b=0\)で\(c=0\)なら\(x=x\in\emptyset\)となる。
このとき、
\[ a+cd=bdx \] となる。
これは\(bd\ne0\)のとき、
\[ x=\frac{a+cd}{bd} \] となり、\(bd=0\)のとき、\(a+cd=0\)なら\(x=x\in\mathbb{R}\)で成り立ち、\(a+cd\ne0\)なら\(x=x\in\emptyset\)となる。
これより、
\begin{align*} \frac{a}{bx-c}=d & \Leftrightarrow bx\ne c\land a+cd=bdx\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} x\ne\frac{c}{b} & b\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\\ x\in\emptyset & b=0\land c=0 \end{cases}\land\begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & \left(b=0\lor d=0\right)\land a+cd=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\lor d=0\right)\land a+cd\ne0 \end{cases} \end{align*} となる。
右辺第2項については、\(b\ne0\land d\ne0\)のときに、\(x=\frac{a+cd}{bd}\)が解になるには、右辺第1項\(x\ne\frac{c}{b}\)より、
\[ \frac{a+cd}{d}\ne c \] となるので、\(a\ne0\)となる。
また\(b\ne0\land d\ne0\)で\(a=0\)のときは解なしとなる。
これを考慮し、右辺第2項の場合分けを変形すると、
\begin{align*} & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & \left(b=0\lor d=0\right)\land a+cd=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\lor d=0\right)\land a+cd\ne0 \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x=\frac{a+cd}{bd} & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & \left(b=0\land a+cd=0\right)\lor\left(d=0\land a+cd=0\right)\\ x\in\emptyset & \left(b=0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(d=0\land a+cd\ne0\right) \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x=\frac{a+cd}{bd} & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & d=0\land a+cd=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(d=0\land a\ne0\right) \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x=\frac{a+cd}{bd} & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c=0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & b\ne0\land d=0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land d=0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c=0\land d=0\land a+cd=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(d=0\land a\ne0\right) \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x=\frac{a+cd}{bd} & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b=0\land c=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b=0\land c\ne0\land d=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b=0\land c=0\land d=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(d=0\land a\ne0\right) \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x=\frac{a+cd}{bd} & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b=0\land c=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(d=0\land a\ne0\right) \end{cases} \end{align*} となるので、
\begin{align*} \frac{a}{bx-c}=d & \Leftrightarrow\begin{cases} x\ne\frac{c}{b} & b\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\\ x\in\emptyset & b=0\land c=0 \end{cases}\land\begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x=\frac{a+cd}{bd} & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b=0\land c=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(d=0\land a\ne0\right) \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} x\ne\frac{c}{b} & b\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\\ x\in\emptyset & b=0\land c=0 \end{cases}\land\begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\emptyset & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b=0\land c=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(d=0\land a\ne0\right) \end{cases} \end{align*} となる。
これを計算すると、
\begin{align*} \frac{a}{bx-c}=d\Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\emptyset & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\emptyset & a=0\land b=0\land c=0\\ x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{c}{b}\right\} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(d=0\land a\ne0\right) \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{c}{b}\right\} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\emptyset & a=0\land b=0\land c=0\\ x\in\emptyset & b=0\land c\ne0\land a+cd\ne0\\ x\in\emptyset & a\ne0\land b=0\land c=0\\ x\in\emptyset & a\ne0\land d=0 \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{c}{b}\right\} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\emptyset & b=0\land c=0\\ x\in\emptyset & b=0\land c\ne0\land a+cd\ne0\\ x\in\emptyset & a\ne0\land d=0 \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{c}{b}\right\} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & \left(a=0\land b\ne0\land d\ne0\right)\lor\left(b=0\land c=0\right)\lor\left(b=0\land c\ne0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(a\ne0\land d=0\right) \end{cases} \end{align*} となる。
このとき、
\[ a+cd=bdx \] となる。
これは\(bd\ne0\)のとき、
\[ x=\frac{a+cd}{bd} \] となり、\(bd=0\)のとき、\(a+cd=0\)なら\(x=x\in\mathbb{R}\)で成り立ち、\(a+cd\ne0\)なら\(x=x\in\emptyset\)となる。
これより、
\begin{align*} \frac{a}{bx-c}=d & \Leftrightarrow bx\ne c\land a+cd=bdx\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} x\ne\frac{c}{b} & b\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\\ x\in\emptyset & b=0\land c=0 \end{cases}\land\begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & \left(b=0\lor d=0\right)\land a+cd=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\lor d=0\right)\land a+cd\ne0 \end{cases} \end{align*} となる。
右辺第2項については、\(b\ne0\land d\ne0\)のときに、\(x=\frac{a+cd}{bd}\)が解になるには、右辺第1項\(x\ne\frac{c}{b}\)より、
\[ \frac{a+cd}{d}\ne c \] となるので、\(a\ne0\)となる。
また\(b\ne0\land d\ne0\)で\(a=0\)のときは解なしとなる。
これを考慮し、右辺第2項の場合分けを変形すると、
\begin{align*} & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & \left(b=0\lor d=0\right)\land a+cd=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\lor d=0\right)\land a+cd\ne0 \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x=\frac{a+cd}{bd} & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & \left(b=0\land a+cd=0\right)\lor\left(d=0\land a+cd=0\right)\\ x\in\emptyset & \left(b=0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(d=0\land a+cd\ne0\right) \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x=\frac{a+cd}{bd} & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & d=0\land a+cd=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(d=0\land a\ne0\right) \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x=\frac{a+cd}{bd} & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c=0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & b\ne0\land d=0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land d=0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c=0\land d=0\land a+cd=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(d=0\land a\ne0\right) \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x=\frac{a+cd}{bd} & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b=0\land c=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b=0\land c\ne0\land d=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b=0\land c=0\land d=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(d=0\land a\ne0\right) \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x=\frac{a+cd}{bd} & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b=0\land c=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(d=0\land a\ne0\right) \end{cases} \end{align*} となるので、
\begin{align*} \frac{a}{bx-c}=d & \Leftrightarrow\begin{cases} x\ne\frac{c}{b} & b\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\\ x\in\emptyset & b=0\land c=0 \end{cases}\land\begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x=\frac{a+cd}{bd} & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b=0\land c=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(d=0\land a\ne0\right) \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} x\ne\frac{c}{b} & b\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\\ x\in\emptyset & b=0\land c=0 \end{cases}\land\begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\emptyset & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b=0\land c=0\\ x\in\mathbb{R} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(d=0\land a\ne0\right) \end{cases} \end{align*} となる。
これを計算すると、
\begin{align*} \frac{a}{bx-c}=d\Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\emptyset & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\emptyset & a=0\land b=0\land c=0\\ x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{c}{b}\right\} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & \left(b=0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(d=0\land a\ne0\right) \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{c}{b}\right\} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\emptyset & a=0\land b=0\land c=0\\ x\in\emptyset & b=0\land c\ne0\land a+cd\ne0\\ x\in\emptyset & a\ne0\land b=0\land c=0\\ x\in\emptyset & a\ne0\land d=0 \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{c}{b}\right\} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & a=0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\emptyset & b=0\land c=0\\ x\in\emptyset & b=0\land c\ne0\land a+cd\ne0\\ x\in\emptyset & a\ne0\land d=0 \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{c}{b}\right\} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & \left(a=0\land b\ne0\land d\ne0\right)\lor\left(b=0\land c=0\right)\lor\left(b=0\land c\ne0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(a\ne0\land d=0\right) \end{cases} \end{align*} となる。
ページ情報
| タイトル | 分母に1次式がある方程式の厳密解 |
| URL | https://www.nomuramath.com/shicyfch/ |
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エジプト式分数の個数
エジプト式分数は無数に存在する。
逆2乗の別表示
\[
\frac{1}{\left(k+1\right)^{2}}=-\int_{0}^{1}x^{k}\log xdx
\]
指数型不等式
\[
\sgn\left(x^{n+1}\right)\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq\sgn\left(x^{n+1}\right)e^{x}
\]
凸関数・狭義凸関数・準凸関数・凹関数・狭義凹関数・準凹関数の定義
\[
\forall x_{1},x_{2}\in X,\forall t\in\left[0,1\right],f\left(tx_{1}+\left(1-t\right)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+\left(1-t\right)f\left(x_{2}\right)
\]