2人の曜日と性別問題

2人の曜日と性別問題
子供が2人います。
少なくとも1人は日曜日に生まれた男の子です。
2人とも男の子である確率はいくつでしょうか？
ここで男女どちらかが生まれる確率は\(1/2\)として、各曜日に生まれる確率を\(1/7\)とする。

2人の子供を\(A,B\)として、男の子の事象を\(S\)、日曜日に生まれる事象を\(T\)とする。
このとき、
\begin{align*} P\left(S_{A}S_{B};S_{A}T_{A}\cup S_{B}T_{B}\right) & =\frac{P\left(S_{A}S_{B}\cap\left(S_{A}T_{A}\cup S_{B}T_{B}\right)\right)}{P\left(S_{A}T_{A}\cup S_{B}T_{B}\right)}\\ & =\frac{P\left(S_{A}S_{B}\cap\left(S_{A}T_{A}\cup T_{B}\right)\right)}{P\left(S_{A}T_{A}\right)+P\left(S_{B}T_{B}\right)-P\left(S_{A}T_{A}\cap S_{B}T_{B}\right)}\\ & =\frac{P\left(S_{A}S_{B}\cap\left(T_{A}\cup T_{B}\right)\right)}{P\left(S_{A}T_{A}\right)+P\left(S_{B}T_{B}\right)+P\left(S_{A}T_{A}\right)P\left(S_{B}T_{B}\right)}\\ & =\frac{P\left(S_{A}\right)P\left(S_{B}\right)\left(P\left(T_{A}\right)+P\left(T_{B}\right)-P\left(T_{A}\cap T_{B}\right)\right)}{P\left(S_{A}\right)P\left(T_{A}\right)+P\left(S_{B}\right)P\left(T_{B}\right)-P\left(S_{A}\right)P\left(T_{A}\right)P\left(S_{B}\right)P\left(T_{B}\right)}\\ & =\frac{P\left(S_{A}\right)P\left(S_{B}\right)\left(P\left(T_{A}\right)+P\left(T_{B}\right)-P\left(T_{A}\right)P\left(T_{B}\right)\right)}{P\left(S_{A}\right)P\left(T_{A}\right)+P\left(S_{B}\right)P\left(T_{B}\right)-P\left(S_{A}\right)P\left(T_{A}\right)P\left(S_{B}\right)P\left(T_{B}\right)}\\ & =\frac{P\left(S\right)P\left(S\right)\left(P\left(T\right)+P\left(T\right)-P\left(T\right)P\left(T\right)\right)}{P\left(S\right)P\left(T\right)+P\left(S\right)P\left(T\right)-P\left(S\right)P\left(T\right)P\left(S\right)P\left(T\right)}\\ & =\frac{P^{2}\left(S\right)P\left(T\right)\left(2-P\left(T\right)\right)}{P\left(S\right)P\left(T\right)\left(2-P\left(S\right)P\left(T\right)\right)}\\ & =\frac{P\left(S\right)\left(2-P\left(T\right)\right)}{\left(2-P\left(S\right)P\left(T\right)\right)}\\ & =\frac{\frac{1}{2}\left(2-\frac{1}{7}\right)}{2-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{7}}\\ & =\frac{13}{27} \end{align*} となるので2人とも男の子である確率は\(\frac{13}{27}\)となる。

補足

事象\(T\)は曜日以外でも成り立つので、一般的に考える。
\(P\left(S\right)=\frac{1}{2}\)とする。
\(P\left(T\right)\)が0に近づくとき、
\begin{align*} \lim_{p\left(T\right)\rightarrow0}P\left(S_{A}S_{B};S_{A}T_{A}\cup S_{B}T_{B}\right) & =\lim_{p\left(T\right)\rightarrow0}\frac{P\left(S\right)\left(2-P\left(T\right)\right)}{2-P\left(S\right)P\left(T\right)}\\ & =P\left(S\right)\\ & =\frac{1}{2} \end{align*} \(P\left(T\right)\)が1に近づくとき、
\begin{align*} \lim_{p\left(T\right)\rightarrow1}P\left(S_{A}S_{B};S_{A}T_{A}\cup S_{B}T_{B}\right) & =\lim_{p\left(T\right)\rightarrow1}\frac{P\left(S\right)\left(2-P\left(T\right)\right)}{2-P\left(S\right)P\left(T\right)}\\ & =\frac{P\left(S\right)}{2-P\left(S\right)}\\ & =\frac{1}{3} \end{align*} となる。
\begin{align*} P\left(S_{A}S_{B};S_{A}T_{A}\cup S_{B}T_{B}\right) & =\frac{P\left(S\right)\left(2-P\left(T\right)\right)}{2-P\left(S\right)P\left(T\right)}\\ & =\frac{2-P\left(T\right)}{4-P\left(T\right)}\\ & =1-\frac{2}{4-P\left(T\right)} \end{align*} \begin{align*} \frac{\partial}{\partial P\left(T\right)}P\left(S_{A}S_{B};S_{A}T_{A}\cup S_{B}T_{B}\right) & =\frac{\partial}{\partial P\left(T\right)}\frac{P\left(S\right)\left(2-P\left(T\right)\right)}{2-P\left(S\right)P\left(T\right)}\\ & =\frac{2P\left(S\right)\left(P\left(S\right)-1\right)}{\left(2-P\left(S\right)P\left(T\right)\right)^{2}}\\ & =-\frac{2}{\left(4-P\left(T\right)\right)^{2}} \end{align*} \begin{align*} \frac{\partial^{2}}{\left(\partial P\left(T\right)\right)^{2}}P\left(S_{A}S_{B};S_{A}T_{A}\cup S_{B}T_{B}\right) & =\frac{\partial}{\partial P\left(T\right)}\left(-\frac{2}{\left(4-P\left(T\right)\right)^{2}}\right)\\ & =-\frac{4}{\left(4-P\left(T\right)\right)^{3}} \end{align*} これより、増減表は
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline P\left(T\right) & 0 & \cdots & 1\\ \hline \frac{\partial}{\partial P\left(T\right)}P\left(S_{A}S_{B};S_{A}T_{A}\cup S_{B}T_{B}\right) & - & - & -\\ \hline \frac{\partial^{2}}{\left(\partial P\left(T\right)\right)^{2}}P\left(S_{A}S_{B};S_{A}T_{A}\cup S_{B}T_{B}\right) & - & - & -\\ \hline P\left(S_{A}S_{B};S_{A}T_{A}\cup S_{B}T_{B}\right) & \frac{1}{2} & \rightarrow\downarrow & \frac{1}{3} \\\hline \end{array} \] となる。
\(P\left(T\right)\)が0に近づくということは珍しい情報でどちらかが特定出来るということで、そのときどちらか特定できる子が男の子ということが分かり、残った人の確率となるので確率は\(\frac{1}{2}\)に近づく。
例えば誕生日は1月1日であるという情報なら\(P\left(T\right)\)は0に近い値になる。
\(P\left(T\right)\)が1に近づくということは誰でも当てはまる情報で全く特定が出来ないということなので、そのとき(男,男),(男,女),(女,男)のうち(男,男)のみなので確率は\(\frac{1}{3}\)に近づく。

完全に特定ができるとき、

\(A\)が男の子であることが分かっているときは完全に特定ができ、\(T\)を\(A,B\)で異なる値\(P\left(T_{A}\right)=1,P\left(T_{B}\right)=0\)という情報が分かっているのと同じであり、
\begin{align*} P\left(S_{A}S_{B};S_{A}T_{A}\cup S_{B}T_{B}\right) & =\frac{P\left(S_{A}\right)P\left(S_{B}\right)\left(P\left(T_{A}\right)+P\left(T_{B}\right)-P\left(T_{A}\right)P\left(T_{B}\right)\right)}{P\left(S_{A}\right)P\left(T_{A}\right)+P\left(S_{B}\right)P\left(T_{B}\right)-P\left(S_{A}\right)P\left(T_{A}\right)P\left(S_{B}\right)P\left(T_{B}\right)}\\ & =\frac{P\left(S_{A}\right)P\left(S_{B}\right)}{P\left(S_{A}\right)}\\ & =\frac{1}{2} \end{align*} となる。
これより、両方男の子である確率は\(B\)の性別のみによって決まるので\(\frac{1}{2}\)となる。
例えば、片方を見かけてその子は男の子だったときや、先に生まれた方の性別が男の子と分かっている場合である。