分母にルート同士の和がある総和
分母にルート同士の和がある総和
次の総和を求めよ。
\[ \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{28}+\sqrt{29}}+\frac{1}{\sqrt{29}+\sqrt{30}}=? \]
次の総和を求めよ。
\[ \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{28}+\sqrt{29}}+\frac{1}{\sqrt{29}+\sqrt{30}}=? \]
\begin{align*}
\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{28}+\sqrt{29}}+\frac{1}{\sqrt{29}+\sqrt{30}} & =\sum_{k=5}^{29}\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\\
& =\sum_{k=5}^{29}\frac{\sqrt{k}-\sqrt{k+1}}{k-\left(k+1\right)}\\
& =-\sum_{k=5}^{29}\left(\sqrt{k}-\sqrt{k+1}\right)\\
& =\sqrt{30}-\sqrt{5}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 分母にルート同士の和がある総和 |
| URL | https://www.nomuramath.com/dqw0wzqn/ |
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分母の形に気付くかな
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{k!}{k!+\left(n-k\right)!}=?
\]
2項係数の対称性を使います
\[
\sum_{k=0}^{n}kC^{2}\left(n,k\right)=?
\]
分母に総和がある数の総和
\[
\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\cdots=?
\]
総乗の極限問題
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n^{2}}\right)=?
\]