3次式の5乗を2次式で割った余り
3次式の5乗を2次式で割った余り
\(\left(x^{3}+x^{2}+x+1\right)^{5}\)を\(x^{2}-x+1\)で割った余りを求めよ。
\(\left(x^{3}+x^{2}+x+1\right)^{5}\)を\(x^{2}-x+1\)で割った余りを求めよ。
\(\mod\left(x^{2}-x+1\right)\)で考える。
\begin{align*} \left(x^{3}+x^{2}+x+1\right)^{5} & =\left\{ \left(x^{3}+1\right)+\left(x^{2}+x\right)\right\} ^{5}\\ & =\left\{ \left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)+\left(x^{2}-x+1\right)+2x-1\right\} ^{5}\\ & \equiv\left(2x-1\right)^{5}\\ & =\left(\left(2x-1\right)^{2}\right)^{2}\left(2x-1\right)\\ & =\left(4x^{2}-4x+1\right)^{2}\left(2x-1\right)\\ & =\left(4\left(x^{2}-x+1\right)-3\right)^{2}\left(2x-1\right)\\ & \equiv\left(-3\right)^{2}\left(2x-1\right)\\ & =18x-9 \end{align*} これより、余りは\(18x-9\)となる。
\begin{align*} \left(x^{3}+x^{2}+x+1\right)^{5} & =\left\{ \left(x^{3}+1\right)+\left(x^{2}+x\right)\right\} ^{5}\\ & =\left\{ \left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)+\left(x^{2}-x+1\right)+2x-1\right\} ^{5}\\ & \equiv\left(2x-1\right)^{5}\\ & =\left(\left(2x-1\right)^{2}\right)^{2}\left(2x-1\right)\\ & =\left(4x^{2}-4x+1\right)^{2}\left(2x-1\right)\\ & =\left(4\left(x^{2}-x+1\right)-3\right)^{2}\left(2x-1\right)\\ & \equiv\left(-3\right)^{2}\left(2x-1\right)\\ & =18x-9 \end{align*} これより、余りは\(18x-9\)となる。
ページ情報
| タイトル | 3次式の5乗を2次式で割った余り |
| URL | https://www.nomuramath.com/abii256d/ |
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展開はしないほうがいいです
\[
\left(x+y\right)^{2}\left(xy-1\right)+1\text{を因数分解}
\]
x²-x+1で割った余り
$x^{1000}$を$x^{2}-x+1$で割った余り
少しだけ難しい有理化問題
\[
\frac{1}{2\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}
\]
3乗根の有理化
\[
\frac{1}{2\cdot3^{\frac{2}{3}}+3\cdot3^{\frac{1}{3}}+2}\text{の有理化}
\]