xのx乗がxになる方程式

\(x\ne0\)なので\(x\)で両辺を割ると、
\[ x^{x-1}=1 \] となる。
これを満たすためには
\[ \begin{cases} x=1\land x-1\in\mathbb{R}\\ x=-1\land x-1=2n,n\in\mathbb{Z}\\ x-1=0\land x\in\mathbb{R} \end{cases} \] とならなければいけない。

\(x=1\land x-1\in\mathbb{R}\)

このとき\(x=1\)となる。

\(x=-1\land x-1=2n,n\in\mathbb{Z}\)

このとき\(x=-1\)となる。

\(x-1=0\land x\in\mathbb{R}\)

このとき\(x=1\)となる。

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これらより、\(x=-1,1\)となる。