偶関数・奇関数の和・積

by nomura · 2024年2月27日

偶関数・奇関数の和・積
偶関数と奇関数の和と積は以下のようになる。

和

(1)

\[ \text{奇関数}+\text{奇関数}=\text{奇関数} \]

(2)

\[ \text{偶関数}+\text{偶関数}=\text{偶関数} \]

(3)

奇関数と偶関数の和は一般的に偶関数でも奇関数でもない。

積

(4)

\[ \text{奇関数}\times\text{奇関数}=\text{偶関数} \]

(5)

\[ \text{偶関数}\times\text{偶関数}=\text{偶関数} \]

(6)

\[ \text{奇関数}\times\text{偶関数}=\text{奇関数} \]

(1)

$f\left(x\right),g\left(x\right)$を奇関数とすると、
\begin{align*} f\left(-x\right)+g\left(-x\right) & =-f\left(x\right)-g\left(x\right)\\ & =-\left\{ f\left(x\right)+g\left(x\right)\right\} \end{align*} となるので、$f\left(x\right)+g\left(x\right)$は奇関数となる。

(2)

$f\left(x\right),g\left(x\right)$を偶関数とすると、
\[ f\left(-x\right)+g\left(-x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right) \] となるので、$f\left(x\right)+g\left(x\right)$は偶関数となる。

(3)

反例で示す。
奇関数を$x$、偶関数を$x^{2}$とすると和は$x+x^{2}$となるがこれは奇関数でも偶関数でもない。

(4)

$f\left(x\right),g\left(x\right)$を奇関数とすると、
\begin{align*} f\left(-x\right)g\left(-x\right) & =\left\{ -f\left(x\right)\right\} \left\{ -g\left(x\right)\right\} \\ & =f\left(x\right)g\left(x\right) \end{align*} となるので、$f\left(x\right)g\left(x\right)$は偶関数となる。

(5)

$f\left(x\right),g\left(x\right)$を偶関数とすると、
\[ f\left(-x\right)g\left(-x\right)=f\left(x\right)g\left(x\right) \] となるので、$f\left(x\right)g\left(x\right)$は偶関数となる。

(6)

$f\left(x\right)$を奇関数、$g\left(x\right)$を偶関数とすると、
\begin{align*} f\left(-x\right)g\left(-x\right) & =-f\left(x\right)g\left(-x\right) \end{align*} となるので、$f\left(x\right)g\left(x\right)$は奇関数となる。
同様に$f\left(x\right)$を偶関数、$g\left(x\right)$を奇関数とすると、$f\left(x\right)g\left(x\right)$は奇関数となる。

ページ情報

タイトル	偶関数・奇関数の和・積
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関数の偶奇分解

\[ f\left(x\right)=f_{e}\left(x\right)+f_{o}\left(x\right) \]

偶関数・奇関数の定積分

$f\left(x\right)$が偶関数ならば$\int_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=2\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx$

偶関数・奇関数の定義

\[ f\left(-x\right)=\pm f\left(x\right) \]

偶関数・奇関数の導関数

偶関数の導関数は奇関数になる。