3連続数字の積に１を足した根号
3連続数字の積に１を足した根号
次の値を求めよ。
\[ \sqrt{55\cdot56\cdot57+1}=? \]
次の値を求めよ。
\[ \sqrt{55\cdot56\cdot57+1}=? \]
4連続の整数に1を足すと平方数になる。
\begin{align*}
\sqrt{55\cdot56\cdot57+1} & =\sqrt{2^{3}\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot19+1}\\
& =\sqrt{19\cdot\left(2^{2}\cdot5\right)\cdot\left(3\cdot7\right)\cdot\left(2\cdot11\right)+1}\\
& =\sqrt{19\cdot20\cdot21\cdot22+1}\\
& =\sqrt{19\cdot20\cdot21\cdot22+1}\\
& =\sqrt{\left(20-1\right)\cdot20\cdot\left(20+1\right)\cdot\left(20+2\right)+1}\\
& =\sqrt{\left(20^{2}+20\right)\cdot\left(20^{2}+20-2\right)+1}\\
& =\sqrt{\left(20^{2}+20\right)^{2}-2\left(20^{2}+20\right)+1}\\
& =\sqrt{\left(\left(20^{2}+20\right)-1\right)^{2}}\\
& =\left|20^{2}+20-1\right|\\
& =\left|400+20-1\right|\\
& =419
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 3連続数字の積に１を足した根号 |
| URL | https://www.nomuramath.com/bgpcrwa1/ |
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無限に続くルート問題
\[
\sqrt{2\sqrt{4\sqrt{8\sqrt{16\cdots}}}}=?
\]
無限多重根号の方程式
\[
\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots}}=\sqrt{1-\sqrt{1-\cdots}}\;,\;x=?
\]
係数が何の値か気付けるかな
\[
x=1+\sqrt[5]{2}+\sqrt[5]{4}+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{16},\frac{1}{x^{5}}+\frac{5}{x^{4}}+\frac{10}{x^{3}}+\frac{10}{x^{2}}+\frac{5}{x}+1=?
\]
ルートiが無限に続くといくつになる？
\[
\sqrt{i\sqrt{i\sqrt{i\sqrt{\cdots}}}}=?
\]