偶関数・奇関数の導関数
偶関数・奇関数の導関数
偶関数・奇関数の導関数について以下が成り立つ。
偶関数・奇関数の導関数について以下が成り立つ。
(1)
偶関数の導関数は奇関数になる。(2)
奇関数の導関数は偶関数になる。(1)
\(f\left(x\right)\)を遇関数とすると、\begin{align*} f'\left(-x\right) & =\lim_{h\rightarrow\emptyset}\frac{f\left(-x+h\right)-f\left(-x\right)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow\emptyset}\frac{f\left(x-h\right)-f\left(x\right)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow\emptyset}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{-h}\cmt{h\rightarrow-h}\\ & =-\lim_{h\rightarrow\emptyset}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\\ & =-f'\left(x\right) \end{align*} となるので、偶関数の導関数は奇関数になる。
(2)
\(f\left(x\right)\)を奇関数とすると、\begin{align*} f'\left(-x\right) & =\lim_{h\rightarrow\emptyset}\frac{f\left(-x+h\right)-f\left(-x\right)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow\emptyset}\frac{-f\left(x-h\right)+f\left(x\right)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow\emptyset}\frac{-f\left(x+h\right)+f\left(x\right)}{-h}\cmt{h\rightarrow-h}\\ & =\lim_{h\rightarrow\emptyset}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\\ & =f'\left(x\right) \end{align*} となるので、奇関数の導関数は偶関数になる。
ページ情報
| タイトル | 偶関数・奇関数の導関数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/wczodstp/ |
| SNSボタン |
関数の偶奇分解
\[
f\left(x\right)=f_{e}\left(x\right)+f_{o}\left(x\right)
\]
偶関数・奇関数の和・積
\[
\text{奇関数}+\text{奇関数}=\text{奇関数}
\]
偶関数・奇関数の定義
\[
f\left(-x\right)=\pm f\left(x\right)
\]
偶関数・奇関数の定積分
$f\left(x\right)$が偶関数ならば$\int_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=2\int_{0}^{a}f\left(x\right)dx$