逆三角関数と逆双曲線関数の積分表示

逆三角関数の積分表示

(1)

\[ \sin^{\circ}x=\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}dt \]

(2)

\[ \cos^{\circ}x=\int_{1}^{x}\frac{-1}{\sqrt{1-t^{2}}}dt \]

(3)

\[ \tan^{\circ}x=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}dt \]

(4)

\[ \sin^{-1,\circ}x=\int_{\infty}^{x}\frac{-1}{t^{2}\sqrt{1-t^{-2}}}dt\qquad,(1\leq x) \]

\[ \sin^{-1,\circ}x=\int_{-\infty}^{x}\frac{-1}{t^{2}\sqrt{1-t^{-2}}}dt\qquad,(x\leq-1) \]

(5)

\[ \cos^{-1,\circ}x=\int_{1}^{x}\frac{1}{t^{2}\sqrt{1-t^{-2}}}dt\qquad,(1\leq x) \]

\[ \cos^{-1,\circ}x=\pi+\int_{-1}^{x}\frac{1}{t^{2}\sqrt{1-t^{-2}}}dt\qquad,(x\leq-1) \]

(6)

\[ \tan^{-1,\circ}x=\int_{\infty}^{x}\frac{-1}{1+t^{2}}dt \]

(1)

\(\sin^{\circ}0=0\)を選択すると、

\begin{align*} \sin^{\circ}x & =\sin^{\circ}0+\sin\int_{0}^{x}\left(\sin^{\circ}t\right)'dt\\ & =\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}dt \end{align*}

(2)

\(\cos^{\circ}1=0\)を選択すると、
\begin{align*} \cos^{\circ}x & =\cos^{\circ}1+\int_{1}^{x}\left(\cos^{\circ}t\right)'dt\\ & =\int_{1}^{x}\frac{-1}{\sqrt{1-t^{2}}}dt \end{align*}

(3)

\(\tan^{\circ}0=0\)を選択すると、
\begin{align*} \tan^{\circ}x & =\tan^{\circ}0+\int_{0}^{x}\left(\tan^{\circ}t\right)'dt\\ & =\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}dt \end{align*}

(4)

\(1\leq x\)の場合

\(\sin^{-1,\circ}\infty=0\)を選択すると、
\begin{align*} \sin^{-1,\circ}x & =\sin^{-1,\circ}\infty+\int_{\infty}^{x}\left(\sin^{-1,\circ}t\right)'dt\\ & =\int_{\infty}^{x}\frac{-1}{t^{2}\sqrt{1-t^{-2}}}dt \end{align*}

\(x\leq-1\)の場合

\(\sin^{-1,\circ}-\infty=0\)を選択すると、
\begin{align*} \sin^{-1,\circ}x & =\sin^{-1,\circ}(-\infty)+\int_{-\infty}^{x}\left(\sin^{-1,\circ}t\right)'dt\\ & =\int_{-\infty}^{x}\frac{-1}{t^{2}\sqrt{1-t^{-2}}}dt \end{align*}

(5)

\(1\leq x\)の場合

\(\cos^{-1,\circ}1=0\)を選択すると、
\begin{align*} \cos^{-1,\circ}x & =\cos^{-1,\circ}1+\int_{1}^{x}\left(\cos^{-1,\circ}t\right)'dt\\ & =\int_{1}^{x}\frac{1}{t^{2}\sqrt{1-t^{-2}}}dt \end{align*}

\(x\leq-1\)の場合

\(\cos^{-1,\circ}-1=\pi\)を選択すると、
\begin{align*} \cos^{-1,\circ}x & =\cos^{-1,\circ}(-1)+\int_{-1}^{x}\left(\cos^{-1,\circ}t\right)'dt\\ & =\pi+\int_{-1}^{x}\frac{1}{t^{2}\sqrt{1-t^{-2}}}dt \end{align*}

(6)

\(\tan^{-1,\circ}\infty=0\)を選択すると、
\begin{align*} \tan^{-1,\circ}x & =\tan^{-1,\circ}\infty+\int_{\infty}^{x}\left(\tan^{-1,\circ}t\right)'dt\\ & =\int_{\infty}^{x}\frac{-1}{1+t^{2}}dt \end{align*}

逆双曲線関数の積分表示

(1)

\[ \sinh^{\circ}x=\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}dt \]

(2)

\[ \cosh^{\circ}x=\int_{1}^{x}\frac{1}{\sqrt{t^{2}-1}}dt \]

(3)

\[ \tanh^{\circ}x=\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t^{2}}dt \]

(4)

\[ \sinh^{-1,\circ}x=\int^{x}\frac{-1}{t^{2}\sqrt{1+t^{-2}}}dt \]

(5)

\[ \cosh^{-1,\circ}x=\int_{1}^{x}\frac{-1}{t^{2}\sqrt{t^{-2}-1}}dt \]

(6)

\[ \tanh^{-1,\circ}x=\int_{\infty}^{x}\frac{1}{1-t^{2}}dt\qquad,(1\leq x) \]

\[ \tanh^{-1,\circ}x=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{1-t^{2}}dt\qquad(x\leq-1) \]

(1)

\(\sinh^{\circ}0=0\)を選択すると、
\begin{align*} \sinh^{\circ}x & =\sinh^{\circ}0+\int_{0}^{x}(\sinh^{\circ}t)'dt\\ & =\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}dt \end{align*}

(2)

\(\cosh^{\circ}1=0\)を選択すると、

\begin{align*} \cosh^{\circ}x & =\cosh^{\circ}1+\int_{1}^{x}(\cosh^{\circ}t)'dt\\ & =\int_{1}^{x}\frac{1}{\sqrt{t^{2}-1}}dt \end{align*}

(3)

\(\tanh^{\circ}0=0\)を選択すると、
\begin{align*} \tanh^{\circ}x & =\tanh^{\circ}0+\int_{0}^{x}(\tanh^{\circ}t)'dt\\ & =\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t^{2}}dt \end{align*}

(4)

\(\sinh^{-1,\circ}\infty=0\)を選択すると、

\begin{align*} \sinh^{-1,\circ}x & =\sinh^{-1,\circ}\infty+\int_{\infty}^{x}(\sinh^{-1,\circ}t)'dt\\ & =\int_{\infty}^{x}\frac{-1}{t^{2}\sqrt{1+t^{-2}}}dt \end{align*}

(5)

\(\cosh^{-1,\circ}1=0\)を選択すると、

\begin{align*} \cosh^{-1,\circ}x & =\cosh^{-1,\circ}1+\int_{1}^{x}(\cosh^{-1,\circ}t)'dt\\ & =\int_{1}^{x}\frac{-1}{t^{2}\sqrt{t^{-2}-1}}dt \end{align*}

(6)

\(1\leq x\)の場合

\(\tanh^{-1,\circ}\infty=0\)を選択すると、

\begin{align*} \tanh^{-1,\circ}x & =\tanh^{-1,\circ}\infty+\int_{\infty}^{x}(\tanh^{-1,\circ}t)'dt\\ & =\int_{\infty}^{x}\frac{1}{1-t^{2}}dt \end{align*}

\(x\leq-1\)の場合

\(\tanh^{-1,\circ}-\infty=0\)を選択すると、

\begin{align*} \tanh^{-1,\circ}x & =\tanh^{-1,\circ}(-\infty)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{1-t^{2}}dt\\ & =\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{1-t^{2}}dt \end{align*}

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逆三角関数と逆双曲線関数の積分表示

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