逆三角関数と逆双曲線関数の積分表示
逆三角関数の積分表示
(1)
\[ \sin^{\bullet}x=\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}dt \](2)
\[ \cos^{\bullet}x=\int_{1}^{x}\frac{-1}{\sqrt{1-t^{2}}}dt \](3)
\[ \tan^{\bullet}x=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}dt \](4)
\[ \sin^{-1,\bullet}x=\int_{\infty}^{x}\frac{-1}{t^{2}\sqrt{1-t^{-2}}}dt\qquad,(1\leq x) \] \[ \sin^{-1,\bullet}x=\int_{-\infty}^{x}\frac{-1}{t^{2}\sqrt{1-t^{-2}}}dt\qquad,(x\leq-1) \](5)
\[ \cos^{-1,\bullet}x=\int_{1}^{x}\frac{1}{t^{2}\sqrt{1-t^{-2}}}dt\qquad,(1\leq x) \] \[ \cos^{-1,\bullet}x=\pi+\int_{-1}^{x}\frac{1}{t^{2}\sqrt{1-t^{-2}}}dt\qquad,(x\leq-1) \](6)
\[ \tan^{-1,\bullet}x=\int_{\infty}^{x}\frac{-1}{1+t^{2}}dt \](1)
\(\sin^{\bullet}0=0\)を選択すると、\begin{align*} \sin^{\bullet}x & =\sin^{\bullet}0+\sin\int_{0}^{x}\left(\sin^{\bullet}t\right)'dt\\ & =\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}dt \end{align*}
(2)
\(\cos^{\bullet}1=0\)を選択すると、\begin{align*} \cos^{\bullet}x & =\cos^{\bullet}1+\int_{1}^{x}\left(\cos^{\bullet}t\right)'dt\\ & =\int_{1}^{x}\frac{-1}{\sqrt{1-t^{2}}}dt \end{align*}
(3)
\(\tan^{\bullet}0=0\)を選択すると、\begin{align*} \tan^{\bullet}x & =\tan^{\bullet}0+\int_{0}^{x}\left(\tan^{\bullet}t\right)'dt\\ & =\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}dt \end{align*}
(4)
\(1\leq x\)の場合
\(\sin^{-1,\bullet}\infty=0\)を選択すると、\begin{align*} \sin^{-1,\bullet}x & =\sin^{-1,\bullet}\infty+\int_{\infty}^{x}\left(\sin^{-1,\bullet}t\right)'dt\\ & =\int_{\infty}^{x}\frac{-1}{t^{2}\sqrt{1-t^{-2}}}dt \end{align*}
\(x\leq-1\)の場合
\(\sin^{-1,\bullet}-\infty=0\)を選択すると、\begin{align*} \sin^{-1,\bullet}x & =\sin^{-1,\bullet}(-\infty)+\int_{-\infty}^{x}\left(\sin^{-1,\bullet}t\right)'dt\\ & =\int_{-\infty}^{x}\frac{-1}{t^{2}\sqrt{1-t^{-2}}}dt \end{align*}
(5)
\(1\leq x\)の場合
\(\cos^{-1,\bullet}1=0\)を選択すると、\begin{align*} \cos^{-1,\bullet}x & =\cos^{-1,\bullet}1+\int_{1}^{x}\left(\cos^{-1,\bullet}t\right)'dt\\ & =\int_{1}^{x}\frac{1}{t^{2}\sqrt{1-t^{-2}}}dt \end{align*}
\(x\leq-1\)の場合
\(\cos^{-1,\bullet}-1=\pi\)を選択すると、\begin{align*} \cos^{-1,\bullet}x & =\cos^{-1,\bullet}(-1)+\int_{-1}^{x}\left(\cos^{-1,\bullet}t\right)'dt\\ & =\pi+\int_{-1}^{x}\frac{1}{t^{2}\sqrt{1-t^{-2}}}dt \end{align*}
(6)
\(\tan^{-1,\bullet}\infty=0\)を選択すると、\begin{align*} \tan^{-1,\bullet}x & =\tan^{-1,\bullet}\infty+\int_{\infty}^{x}\left(\tan^{-1,\bullet}t\right)'dt\\ & =\int_{\infty}^{x}\frac{-1}{1+t^{2}}dt \end{align*}
逆双曲線関数の積分表示
(1)
\[ \sinh^{\bullet}x=\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}dt \](2)
\[ \cosh^{\bullet}x=\int_{1}^{x}\frac{1}{\sqrt{t^{2}-1}}dt \](3)
\[ \tanh^{\bullet}x=\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t^{2}}dt \](4)
\[ \sinh^{-1,\bullet}x=\int^{x}\frac{-1}{t^{2}\sqrt{1+t^{-2}}}dt \](5)
\[ \cosh^{-1,\bullet}x=\int_{1}^{x}\frac{-1}{t^{2}\sqrt{t^{-2}-1}}dt \](6)
\[ \tanh^{-1,\bullet}x=\int_{\infty}^{x}\frac{1}{1-t^{2}}dt\qquad,(1\leq x) \] \[ \tanh^{-1,\bullet}x=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{1-t^{2}}dt\qquad(x\leq-1) \](1)
\(\sinh^{\bullet}0=0\)を選択すると、\begin{align*} \sinh^{\bullet}x & =\sinh^{\bullet}0+\int_{0}^{x}(\sinh^{\bullet}t)'dt\\ & =\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}dt \end{align*}
(2)
\(\cosh^{\bullet}1=0\)を選択すると、\begin{align*} \cosh^{\bullet}x & =\cosh^{\bullet}1+\int_{1}^{x}(\cosh^{\bullet}t)'dt\\ & =\int_{1}^{x}\frac{1}{\sqrt{t^{2}-1}}dt \end{align*}
(3)
\(\tanh^{\bullet}0=0\)を選択すると、\begin{align*} \tanh^{\bullet}x & =\tanh^{\bullet}0+\int_{0}^{x}(\tanh^{\bullet}t)'dt\\ & =\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t^{2}}dt \end{align*}
(4)
\(\sinh^{-1,\bullet}\infty=0\)を選択すると、\begin{align*} \sinh^{-1,\bullet}x & =\sinh^{-1,\bullet}\infty+\int_{\infty}^{x}(\sinh^{-1,\bullet}t)'dt\\ & =\int_{\infty}^{x}\frac{-1}{t^{2}\sqrt{1+t^{-2}}}dt \end{align*}
(5)
\(\cosh^{-1,\bullet}1=0\)を選択すると、\begin{align*} \cosh^{-1,\bullet}x & =\cosh^{-1,\bullet}1+\int_{1}^{x}(\cosh^{-1,\bullet}t)'dt\\ & =\int_{1}^{x}\frac{-1}{t^{2}\sqrt{t^{-2}-1}}dt \end{align*}
(6)
\(1\leq x\)の場合
\(\tanh^{-1,\bullet}\infty=0\)を選択すると、\begin{align*} \tanh^{-1,\bullet}x & =\tanh^{-1,\bullet}\infty+\int_{\infty}^{x}(\tanh^{-1,\bullet}t)'dt\\ & =\int_{\infty}^{x}\frac{1}{1-t^{2}}dt \end{align*}
\(x\leq-1\)の場合
\(\tanh^{-1,\bullet}-\infty=0\)を選択すると、\begin{align*} \tanh^{-1,\bullet}x & =\tanh^{-1,\bullet}(-\infty)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{1-t^{2}}dt\\ & =\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{1-t^{2}}dt \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 逆三角関数と逆双曲線関数の積分表示 |
| URL | https://www.nomuramath.com/qiws1sr0/ |
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三角関数の積
\[
\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}
\]
オイラーの公式の応用
\[
\cos z\pm i\sin z=e^{\pm iz}
\]
三角関数と双曲線関数の実部と虚部
\[
\tan z=\frac{\sin\left(2\Re z\right)+i\sinh\left(2\Im z\right)}{\cos\left(2\Re z\right)+\cosh\left(2\Im z\right)}
\]
双曲線関数と三角関数の級数展開
\[
\tanh x=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{2k}\left(2^{2k}-1\right)B_{2k}}{(2k)!}x{}^{2k-1}
\]