線型隣接二項間漸化式
(1)定数係数線型隣接二項間漸化式
\[ a_{n+1}=pa_{n}+q \]
の一般項は、
\(p\ne1\)のとき、
\[
a_{n}=p^{n-1}a_{1}+q\frac{p^{n-1}-1}{p-1}
\]
\(p=1\)のとき、
\[ a_{n}=a_{1}+(n-1)q\qquad(p=1) \]
(2)
\[ a_{n+1}=pa_{n}+q(n) \]
の一般項は
\[ a_{n}=p^{n-1}a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}p^{n-1-k}q(n) \]
(3)
\[ a_{n+1}=p(n)a_{n}+q \]
の一般項は
\[ a_{n}=a_{1}\prod_{i=1}^{n-1}p(i)+q\sum_{j=1}^{n-1}\left(\prod_{i=j+1}^{n-1}p(i)\right) \]
(4)線型隣接二項間漸化式
\[ a_{n+1}=p(n)a_{n}+q(n) \]
の一般項は
\[
a_{n}=a_{1}\prod_{i=1}^{n-1}p(i)+\sum_{j=1}^{n-1}q(j)\prod_{i=j+1}^{n-1}p(i)
\]
(1)
両辺を\(p^{n+1}\)で割ると、
\[
\frac{a_{n+1}}{p^{n+1}}=\frac{a_{n}}{p^{n}}+\frac{q}{p^{n+1}}
\]
これを解くと、
\begin{align*}
a_{n} & =p^{n}\left(\frac{a_{1}}{p}+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{a_{k+1}}{p^{k+1}}-\frac{a_{k}}{p^{k}}\right)\right)\\
& =p^{n-1}a_{1}+p^{n-2}q\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{p^{k-1}}\right)\\
& =p^{n-1}a_{1}+q\frac{p^{n-1}-1}{p-1}
\end{align*}
\(p=1\)のときは等比数列になるので、
\begin{align*} a_{n} & =a_{1}+\sum_{j=1}^{n-1}\left(a_{j+1}-a_{j}\right)\\ & =a_{1}+(n-1)q \end{align*}
(1)別解
特性方程式の解は\(\frac{q}{1-p}\)なので\(p\ne1\)のとき、
\[ a_{n+1}-\frac{q}{1-p}=p\left(a_{n}-\frac{q}{1-p}\right) \]
これを解くと、
\begin{align*} a_{n} & =\left(a_{1}-\frac{q}{1-p}\right)p^{n-1}+\frac{q}{1-p}\\ & =p^{n-1}a_{1}+q\frac{p^{n-1}-1}{p-1} \end{align*}
\(p=1\)のときも同様にする。
(2)
両辺を\(p^{n+1}\)で割ると、
\[
\frac{a_{n+1}}{p^{n+1}}=\frac{a_{n}}{p^{n}}+\frac{q(n)}{p^{n+1}}
\]
これを解くと、
\begin{align*}
a_{n} & =p^{n}\left(\frac{a_{1}}{p}+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{a_{k+1}}{p^{k+1}}-\frac{a_{k}}{p^{k}}\right)\right)\\
& =p^{n-1}a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}p^{n-1-k}q(n)
\end{align*}
(3)
両辺に\(\prod_{i=1}^{n}p^{-1}(i)\)をかけると、
\[ a_{n+1}\prod_{i=1}^{n}p^{-1}(i)=a_{n}\prod_{i=1}^{n-1}p^{-1}(i)+q\prod_{i=1}^{n}p^{-1}(i) \]
これを解くと、
\begin{align*}
a_{n} & =\left(\prod_{i=1}^{n-1}p(i)\right)\left(a_{1}+\sum_{j=1}^{n-1}\left(a_{j+1}\prod_{i=1}^{j}p^{-1}(i)-a_{j}\prod_{i=1}^{j-1}p^{-1}(i)\right)\right)\\
& =\left(\prod_{i=1}^{n-1}p(i)\right)\left(a_{1}+q\sum_{j=1}^{n-1}\left(\prod_{i=1}^{j}p^{-1}(i)\right)\right)\\
& =a_{1}\prod_{i=1}^{n-1}p(i)+q\sum_{j=1}^{n-1}\left(\prod_{i=j+1}^{n-1}p(i)\right)
\end{align*}
(4)
両辺に\(\prod_{i=1}^{n}p^{-1}(i)\)をかけると、
\[
a_{n+1}\prod_{i=1}^{n}p^{-1}(i)=a_{n}\prod_{i=1}^{n-1}p^{-1}(i)+q(n)\prod_{i=1}^{n}p^{-1}(i)
\]
これを解くと、
\begin{align*}
a_{n} & =\left(\prod_{i=1}^{n-1}p(i)\right)\left(a_{1}+\sum_{j=1}^{n-1}\left(a_{j+1}\prod_{i=1}^{j}p^{-1}(i)-a_{j}\prod_{i=1}^{j-1}p^{-1}(i)\right)\right)\\
& =\left(\prod_{i=1}^{n-1}p(i)\right)\left(a_{1}+\sum_{j=1}^{n-1}q(j)\prod_{i=1}^{j}p^{-1}(i)\right)\\
& =a_{1}\prod_{i=1}^{n-1}p(i)+\sum_{j=1}^{n-1}q(j)\prod_{i=j+1}^{n-1}p(i)
\end{align*}
ページ情報
タイトル | 線型隣接二項間漸化式 |
URL | https://www.nomuramath.com/tpt3f9mp/ |
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