sinの3乗をｘの2乗で割った定積分
\[\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{3}x}{x^{2}}dx=?\]
2項係数が0になるとき
\[\forall m,n\in\mathbb{Z},\left(0\leq m<n\right)\lor\left(n<0\leq m\right)\lor\left(m<n<0\right)\Leftrightarrow C\left(m,n\right)=0\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)とその逆数の値が0となるとき
\[\forall m,n\in\mathbb{Z},0\leq m<n\Leftrightarrow P\left(m,n\right)=0\]
2年生の夢(高さ2のテトレーションの0から1までの定積分)
\[\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{x}}dx=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{k}}\]
テトレーションの微分
\[\frac{d}{dz}\left(z\uparrow^{2}n\right)=\frac{1}{z}\sum_{k=1}^{n}\left(\log^{k-1}z\right)\prod_{j=n-k}^{n}\left(z\uparrow^{2}j\right)\]
2項係数を含む総和
\[\sum_{k=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k}C\left(n,k\right)}{m+k}=\frac{1}{mC\left(m+n,m\right)}\]
中央2項係数の値
\[C\left(2n,n\right)=4^{n}\left(-1\right)^{n}C\left(-\frac{1}{2},n\right)\]
文字を消去すると4次方程式
\[\begin{cases}x^{2}-2y=4\\y^{2}-2x=4\end{cases}\]
ガンマ関数の非正整数近傍での値
\[\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(-\epsilon\right)=-\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(\epsilon\right)\]
階乗・ガンマ関数の商と階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の関係
\[\frac{\Gamma\left(x\right)}{\Gamma\left(y\right)}=Q\left(y,x-y\right)\]
負の整数の2項係数
\[C\left(-m,-n\right)=\left(-1\right)^{m-n}C\left(n-1,m-1\right)\]
負の整数の階乗の商
\[\frac{\left(-m\right)!}{\left(-n\right)!}=\left(-1\right)^{n-m}\frac{\Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(m\right)}\]
テトレーションと対数
\[H_{4}\left(a,n\right)=\log_{a}^{m\circ}H_{4}\left(a,n+m\right)\]
コンウェイのチェーン表記の優先順位
\begin{align*} & a\rightarrow\left(b\rightarrow c\right)\\ & a\rightarrow b\rightarrow c\\ & \left(a\rightarrow b\right)\rightarrow c\end{align*}
コンウェイのチェーン表記の別定義
\[a\rightarrow b\rightarrow c=a\uparrow^{c}b\]
反復コンウェイのチェーン表記
\[X\rightarrow\left(p+1\right)\rightarrow\left(q+1\right)=f^{p\circ}\left(X\right)\]
コンウェイのチェーン表記の基本
\[a\rightarrow0\rightarrow b=1-\delta_{0b}\]
コンウェイのチェーン表記の定義
\[X\rightarrow\left(a+1\right)\rightarrow\left(b+1\right)=X\rightarrow\left\{ X\rightarrow a\rightarrow\left(b+1\right)\right\} \rightarrow b\]
アッカーマン関数の定義と解
\[A\left(m,n\right)=2\uparrow^{m-2}\left(n+3\right)-3\]
ハイパー演算子とクヌースの矢印表記の(2,2)の値
\[2\uparrow^{n}2=4-\delta_{-2,n}\]
ハイパー演算子の優先順位
\[I_{n+1}\left(a,b\right)=I_{n+1}\left(a,b-1\right)^{\left(n\right)}a\]
ハイパー演算子の結合法則
\[a^{\left(n\right)}\left(b^{\left(n\right)}c\right)\ne\left(a^{\left(n\right)}b\right)^{\left(n\right)}c\]
ハイバー演算子とクヌースの矢印表記の関係
\[H_{n}\left(a,b\right)=a\uparrow^{n-2}b\;,\;n\in\mathbb{Z}\]
ハイバー演算子の基本的な値
\[H_{n}\left(0,a\right)=\begin{cases}a+1 & n=0\\a & n=1\\0 & n=2\\\delta_{0a} & n=3\\\delta_{0,\mod\left(a,2\right)} & n=4,5,\cdots\end{cases}\]
ハイバー演算子の定義
\[H_{n}\left(a,b\right):=\begin{cases}b+1 & n=0\\a+b & n=1\\\underbrace{a^{\left(n-1\right)}a^{\left(n-1\right)}\cdots a^{\left(n-1\right)}a}_{b\;copies\;of\;a} & n=2,3,\cdots\end{cases}\]
クヌースの矢印表記の定義
\[a\uparrow^{n}b:=\begin{cases}ab & n=0\\1 & n\geq1\;\land\;b=0\\\underbrace{a\uparrow^{n-1}a\uparrow^{n-1}\cdots\uparrow^{n-1}a}_{b\;copies\;of\;a} & otherwise\end{cases}\]
余弦積分の極限
\[\lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Ci\left(\alpha x\right)-\Ci\left(x\right)\right\} =\begin{cases}\Log\alpha & x\rightarrow+0\\\Log\left(-\alpha\right)-\pi i & x\rightarrow-0\end{cases}\]
偏角・対数の極限
\[\lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Arg\left(\alpha x\right)-\Arg\left(x\right)\right\} =\begin{cases}\Arg\alpha & x\rightarrow+0\\\Arg\left(-\alpha\right)-\pi & x\rightarrow-0\end{cases}\]
負数の偏角と対数
\[\Arg\alpha-\Arg\left(-\alpha\right)=2\pi H_{0}\left(\Arg\left(\alpha\right)\right)-\pi\]
指数積分・正弦積分・余弦積分の定義
\[\Si\left(x\right):=\int_{0}^{x}\frac{\sin x}{x}dx\]