ハイパー演算子の結合法則
ハイパー演算子の結合法則
\[ a^{\left(n\right)}\left(b^{\left(n\right)}c\right)=\left(a^{\left(n\right)}b\right)^{\left(n\right)}c \]
\[ a^{\left(n\right)}\left(b^{\left(n\right)}c\right)\ne\left(a^{\left(n\right)}b\right)^{\left(n\right)}c \]
(1)
\(n=1,2\)のとき、\[ a^{\left(n\right)}\left(b^{\left(n\right)}c\right)=\left(a^{\left(n\right)}b\right)^{\left(n\right)}c \]
(2)
\(n=0\)または\(n=3,4,\cdots\)のとき、\[ a^{\left(n\right)}\left(b^{\left(n\right)}c\right)\ne\left(a^{\left(n\right)}b\right)^{\left(n\right)}c \]
-
\(a^{\left(n\right)}b\)はハイパー演算子(1)
\begin{align*} a^{\left(1\right)}\left(b^{\left(1\right)}c\right) & =a+b+c\\ & =\left(a^{\left(1\right)}b\right)^{\left(1\right)}c \end{align*} \begin{align*} a^{\left(2\right)}\left(b^{\left(2\right)}c\right) & =abc\\ & =\left(a^{\left(2\right)}b\right)^{\left(2\right)}c \end{align*}(2)
\(n=0\)のとき、
\begin{align*} a^{\left(0\right)}\left(b^{\left(0\right)}c\right) & =a^{\left(0\right)}\left(c+1\right)\\ & =c+2 \end{align*} \begin{align*} \left(a^{\left(0\right)}b\right)^{\left(0\right)}c & =c+1 \end{align*} となるので、\[ a^{\left(0\right)}\left(b^{\left(0\right)}c\right)\ne\left(a^{\left(0\right)}b\right)^{\left(0\right)}c \]
\(n=2,3,\cdots\)のとき、
\(c=0\)とする。\begin{align*} a^{\left(n\right)}\left(b^{\left(n\right)}0\right) & =a^{\left(n\right)}1\\ & =a \end{align*} \[ \left(a^{\left(n\right)}b\right)^{\left(n\right)}0=1 \] となり、
\[ a^{\left(n\right)}\left(b^{\left(n\right)}0\right)\ne\left(a^{\left(n\right)}b\right)^{\left(n\right)}0 \] となるので、一般に
\[ a^{\left(n\right)}\left(b^{\left(n\right)}c\right)\ne\left(a^{\left(n\right)}b\right)^{\left(n\right)}c \] となる。
ページ情報
| タイトル | ハイパー演算子の結合法則 |
| URL | https://www.nomuramath.com/yv2kkqea/ |
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ハイパー演算子とクヌースの矢印表記の(2,2)の値
\[
2\uparrow^{n}2=4-\delta_{-2,n}
\]
ハイパー演算子の優先順位
\[
I_{n+1}\left(a,b\right)=I_{n+1}\left(a,b-1\right)^{\left(n\right)}a
\]
テトレーションと対数
\[
H_{4}\left(a,n\right)=\log_{a}^{m\circ}H_{4}\left(a,n+m\right)
\]
コンウェイのチェーン表記の別定義
\[
a\rightarrow b\rightarrow c=a\uparrow^{c}b
\]