(1)

\(n=0\)のとき、

定義より明らかに\(H_{0}\left(0,a\right)=a+1\)となる。

\(n=1\)のとき、

定義より明らかに\(H_{1}\left(0,a\right)=a\)となる。

\(n=2\)のとき、

定義より明らかに\(H_{2}\left(0,a\right)=0\)となる。

\(n=3\)のとき、

\(H_{3}\left(0,a\right)=0^{a}=\delta_{0a}\)となる。

\(n\geq4\)のとき、

\(a=0\)のとき、

\[ H_{n}\left(0,0\right)=1 \]

\(a=1\)のとき、

\[ H_{n}\left(0,1\right)=0 \]

\(a\geq2\)のとき、

(3)より、\(n\geq3\)で\(H_{n}\left(0,0\right)=1\)、(4)より\(n\geq3\)で\(H_{n-1}\left(0,1\right)=0\)となるので、

\begin{align*} H_{n}\left(0,a\right) & =\underbrace{0^{\left(n-1\right)}0^{\left(n-1\right)}\cdots0^{\left(n-1\right)}0}_{a\;copies\;of\;0}\\ & =\underbrace{0^{\left(n-1\right)}0^{\left(n-1\right)}\cdots0^{\left(n-1\right)}}_{a-2\;copies\;of\;0}0^{\left(n-1\right)}0\\ & =\underbrace{0^{\left(n-1\right)}0^{\left(n-1\right)}\cdots0^{\left(n-1\right)}}_{a-2\;copies\;of\;0}H_{n-1}\left(0,0\right)\\ & =\underbrace{0^{\left(n-1\right)}0^{\left(n-1\right)}\cdots0^{\left(n-1\right)}}_{a-2\;copies\;of\;0}1\\ & =\underbrace{0^{\left(n-1\right)}0^{\left(n-1\right)}\cdots0^{\left(n-1\right)}}_{a-3\;copies\;of\;0}0^{\left(n-1\right)}1\\ & =\underbrace{0^{\left(n-1\right)}0^{\left(n-1\right)}\cdots0^{\left(n-1\right)}}_{a-3\;copies\;of\;0}H_{n-1}\left(0,1\right)\\ & =\underbrace{0^{\left(n-1\right)}0^{\left(n-1\right)}\cdots0^{\left(n-1\right)}0}_{a-2\;copies\;of\;0}\\ & =H_{n}\left(0,a-2\right)\\ & =\sum_{k=1}^{\left\lfloor \frac{a}{2}\right\rfloor }\left(H_{n}\left(0,2k+\mod\left(a,2\right)\right)-H_{n}\left(0,2\left(k-1\right)+\mod\left(a,2\right)\right)\right)+H_{n}\left(0,\mod\left(a,2\right)\right)\\ & =H_{n}\left(0,\mod\left(a,2\right)\right)\\ & =\delta_{0,\mod\left(a,2\right)} \end{align*}

これより、

\[ H_{n}\left(0,a\right)=\delta_{0,\mod\left(a,2\right)} \]

となる。

-

これらをまとめると、

\[ H_{n}\left(0,a\right)=\begin{cases} a+1 & n=0\\ a & n=1\\ 0 & n=2\\ \delta_{0a} & n=3\\ \delta_{0,\mod\left(a,2\right)} & n=4,5,\cdots \end{cases} \]

(2)

\(n=0\)のとき、

定義より明らかに\(H_{0}\left(1,a\right)=a+1\)となる。

\(n=1\)のとき、

定義より明らかに\(H_{1}\left(1,a\right)=a+1\)となる。

\(n=2\)のとき、

定義より明らかに\(H_{2}\left(1,a\right)=a\)となる。

\(3\)\(\leq n\)のとき、

\[ H_{n}\left(1,a\right)=1 \]

と予想する。

\(n=3\)のとき\(H_{3}\left(1,a\right)=1^{a}=1\)なので成り立つ。

\(n=k\)のとき成り立つと仮定すると、

\begin{align*} H_{n+1}\left(1,a\right) & =\underbrace{1^{\left(n\right)}1^{\left(n\right)}\cdots1^{\left(n\right)}1}_{a\;copies\;of\;1}\\ & =\underbrace{1^{\left(n\right)}1^{\left(n\right)}\cdots1^{\left(n\right)}1}_{a-1\;copies\;of\;1}\\ & =1 \end{align*}

となるので\(n=k+1\)でも成り立つ。

故に数学的帰納法より\(3\leq n\)のとき\(H_{n}\left(1,a\right)=1\)となる。

-

これらより、

\[ H_{n}\left(1,a\right)=\begin{cases} a+1 & n=0\\ a+1 & n=1\\ a & n=2\\ 1 & n=3,4,\cdots \end{cases} \]

となる。

(3)

\(n=0\)のとき、

定義より明らかに\(H_{0}\left(a,0\right)=1\)となる。

\(n=1\)のとき、

定義より明らかに\(H_{1}\left(a,0\right)=a\)となる。

\(n=2\)のとき、

\begin{align*} H_{2}\left(a,1\right) & =a^{\left(2\right)}1\\ & =a^{\left(1\right)}a^{\left(2\right)}0\\ & =a+a^{\left(2\right)}0\\ & =a+H_{2}\left(a,0\right) \end{align*}

より、

\begin{align*} H_{2}\left(a,0\right) & =H_{2}\left(a,1\right)-a\\ & =a-a\\ & =0 \end{align*}

\(3\)\(\leq n\)のとき

\begin{align*} a^{\left(n-1\right)}1 & =a\\ & =a^{\left(n\right)}1\\ & =a^{\left(n-1\right)}a^{\left(n\right)}0 \end{align*}

\(a^{\left(n\right)}b\)が\(b\)について単射であるので、

\begin{align*} H_{n}\left(a,0\right) & =a^{\left(n\right)}0\\ & =1\;,\;n=3,4,\cdots \end{align*}

が成り立つ。

-

これより、

\[ H_{n}\left(a,0\right)=\begin{cases} 1 & n=0\\ a & n=1\\ 0 & n=2\\ 1 & n=3,4,\cdots \end{cases} \]

(4)

\(n=0\)のとき、

定義より明らかに\(H_{0}\left(a,1\right)=2\)となる。

\(n=1\)のとき、

定義より、明らかに\(H_{1}\left(a,1\right)=a+1\)となる。

\(n=2,3,\cdots\)のとき、

定義より、明らかに\(H_{n}\left(a,1\right)=a\)

-

これより、

\[ H_{n}\left(a,1\right)=\begin{cases} 2 & n=0\\ a+1 & n=1\\ a & n=2,3,\cdots \end{cases} \]