コンウェイのチェーン表記の定義

コンウェイのチェーン表記の定義

\(a,b,c\)は正の整数、\(X\)は部分チェーンとする。

(1)

正の整数は長さ1のチェーンとする。

(2)

長さ\(n\)のチェーンの右側に「\(\rightarrow\)」と正の整数を繋げたものを長さ\(n+1\)のチェーンとする。

(3)

長さ0のチェーンは1とする。

(4)

長さ1のチェーン\(a\)は\(a\)とする。

(5)

長さ2のチェーン\(a\rightarrow b\)は\(a^{b}\)とする。

(6)

長さ3のチェーン\(a\rightarrow b\rightarrow c\)は\(a\uparrow^{c}b\)とする(クヌースの矢印表記)。

(7)

チェーンの最後が1のものは消せる。すなわち、\(X\rightarrow1=X\)となる。

(8)

\(X\rightarrow1\rightarrow a=X\)とする。

(9)

\(X\rightarrow\left(a+1\right)\rightarrow\left(b+1\right)=X\rightarrow\left\{ X\rightarrow a\rightarrow\left(b+1\right)\right\} \rightarrow b\)とする。

(7)は\(a\rightarrow b\rightarrow1=a\uparrow^{1}b=a^{b}=a\rightarrow b\)なので\(X\rightarrow1=X\)としている。
(8)は\(b=0,1,\cdots\)のとき、\(a\rightarrow1\rightarrow b=a\uparrow^{b}1=a\)なので\(X\rightarrow1\rightarrow a=X\)としている。
(9)は\(a\rightarrow b\rightarrow c=a\uparrow^{c}b=a\uparrow^{c-1}a\uparrow^{c}\left(b-1\right)=a\rightarrow a\uparrow^{c}\left(b-1\right)\rightarrow c-1=a\rightarrow\left\{ a\rightarrow\left(b-1\right)\rightarrow c\right\} \rightarrow c-1\)なので\(X\rightarrow b\rightarrow c=X\rightarrow\left\{ X\rightarrow\left(b-1\right)\rightarrow c\right\} \rightarrow c-1\)としている。

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コンウェイのチェーン表記の定義

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