コンウェイのチェーン表記の定義
コンウェイのチェーン表記の定義
\(a,b,c\)は正の整数、\(X\)は部分チェーンとする。
\(a,b,c\)は正の整数、\(X\)は部分チェーンとする。
(1)
正の整数は長さ1のチェーンとする。(2)
長さ\(n\)のチェーンの右側に「\(\rightarrow\)」と正の整数を繋げたものを長さ\(n+1\)のチェーンとする。(3)
長さ0のチェーンは1とする。(4)
長さ1のチェーン\(a\)は\(a\)とする。(5)
長さ2のチェーン\(a\rightarrow b\)は\(a^{b}\)とする。(6)
長さ3のチェーン\(a\rightarrow b\rightarrow c\)は\(a\uparrow^{c}b\)とする(クヌースの矢印表記)。(7)
チェーンの最後が1のものは消せる。すなわち、\(X\rightarrow1=X\)となる。(8)
\(X\rightarrow1\rightarrow a=X\)とする。(9)
\(X\rightarrow\left(a+1\right)\rightarrow\left(b+1\right)=X\rightarrow\left\{ X\rightarrow a\rightarrow\left(b+1\right)\right\} \rightarrow b\)とする。(7)は\(a\rightarrow b\rightarrow1=a\uparrow^{1}b=a^{b}=a\rightarrow b\)なので\(X\rightarrow1=X\)としている。
(8)は\(b=0,1,\cdots\)のとき、\(a\rightarrow1\rightarrow b=a\uparrow^{b}1=a\)なので\(X\rightarrow1\rightarrow a=X\)としている。
(9)は\(a\rightarrow b\rightarrow c=a\uparrow^{c}b=a\uparrow^{c-1}a\uparrow^{c}\left(b-1\right)=a\rightarrow a\uparrow^{c}\left(b-1\right)\rightarrow c-1=a\rightarrow\left\{ a\rightarrow\left(b-1\right)\rightarrow c\right\} \rightarrow c-1\)なので\(X\rightarrow b\rightarrow c=X\rightarrow\left\{ X\rightarrow\left(b-1\right)\rightarrow c\right\} \rightarrow c-1\)としている。
(8)は\(b=0,1,\cdots\)のとき、\(a\rightarrow1\rightarrow b=a\uparrow^{b}1=a\)なので\(X\rightarrow1\rightarrow a=X\)としている。
(9)は\(a\rightarrow b\rightarrow c=a\uparrow^{c}b=a\uparrow^{c-1}a\uparrow^{c}\left(b-1\right)=a\rightarrow a\uparrow^{c}\left(b-1\right)\rightarrow c-1=a\rightarrow\left\{ a\rightarrow\left(b-1\right)\rightarrow c\right\} \rightarrow c-1\)なので\(X\rightarrow b\rightarrow c=X\rightarrow\left\{ X\rightarrow\left(b-1\right)\rightarrow c\right\} \rightarrow c-1\)としている。
ページ情報
| タイトル | コンウェイのチェーン表記の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/newdgp4t/ |
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コンウェイのチェーン表記の別定義
\[
a\rightarrow b\rightarrow c=a\uparrow^{c}b
\]
ハイパー演算子の結合法則
\[
a^{\left(n\right)}\left(b^{\left(n\right)}c\right)\ne\left(a^{\left(n\right)}b\right)^{\left(n\right)}c
\]
反復コンウェイのチェーン表記
\[
X\rightarrow\left(p+1\right)\rightarrow\left(q+1\right)=f^{p\circ}\left(X\right)
\]
ハイバー演算子とクヌースの矢印表記の関係
\[
H_{n}\left(a,b\right)=a\uparrow^{n-2}b\;,\;n\in\mathbb{Z}
\]