文字を消去すると4次方程式

文字を消去すると4次方程式
次の連立方程式を解け。

\[ \begin{cases} x^{2}-2y=4\\ y^{2}-2x=4 \end{cases} \]

辺々を引くと、

\begin{align*} 0 & =x^{2}-y^{2}-2\left(y-x\right)\\ & =\left(x+y\right)\left(x-y\right)+2\left(x-y\right)\\ & =\left(x+y+2\right)\left(x-y\right) \end{align*}

これより、

\[ x+y+2=0\lor x-y=0 \]

となる。

\(x+y+2=0\)のとき

\(y=-x-2\)となり、与式の1つ目の式は

\[ x^{2}-2\left(-x-2\right)=4 \]

となるので、

\begin{align*} 0 & =x^{2}+2x\\ & =x\left(x+2\right) \end{align*}

より、

\[ x=0,-2 \]

となる。
\(x=0\)のときは\(y=-2\)、\(x=-2\)のときは\(y=0\)となる。
すなわち、\(\left(x,y\right)=\left(0,-2\right),\left(-2,0\right)\)である。

\(x-y=0\)のとき

\(x=y\)となり、与式の1つ目の式は

\[ x^{2}-2x=4 \]

となるので、

\[ x^{2}-2x-4=0 \]

となるので、

\begin{align*} x & =1\pm\sqrt{1+4}\\ & =1\pm\sqrt{5} \end{align*}

このとき、

\[ y=1\pm\sqrt{5} \]

となる。
すなわち、\(\left(x,y\right)=\left(1\pm\sqrt{5},1\pm\sqrt{5}\right)\)である。

-

故に\(\left(x,y\right)=\left(0,-2\right),\left(-2,0\right),\left(1\pm\sqrt{5},1\pm\sqrt{5}\right)\)となる(復号同順)。

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文字を消去すると4次方程式

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