文字を消去すると4次方程式

by nomura · 2022年10月2日

文字を消去すると4次方程式
次の連立方程式を解け。
\[ \begin{cases} x^{2}-2y=4\\ y^{2}-2x=4 \end{cases} \]

辺々を引くと、
\begin{align*} 0 & =x^{2}-y^{2}-2\left(y-x\right)\\ & =\left(x+y\right)\left(x-y\right)+2\left(x-y\right)\\ & =\left(x+y+2\right)\left(x-y\right) \end{align*} これより、
\[ x+y+2=0\lor x-y=0 \] となる。

$x+y+2=0$のとき

$y=-x-2$となり、与式の1つ目の式は
\[ x^{2}-2\left(-x-2\right)=4 \] となるので、
\begin{align*} 0 & =x^{2}+2x\\ & =x\left(x+2\right) \end{align*} より、
\[ x=0,-2 \] となる。
$x=0$のときは$y=-2$、$x=-2$のときは$y=0$となる。
すなわち、$\left(x,y\right)=\left(0,-2\right),\left(-2,0\right)$である。

$x-y=0$のとき

$x=y$となり、与式の1つ目の式は
\[ x^{2}-2x=4 \] となるので、
\[ x^{2}-2x-4=0 \] となるので、
\begin{align*} x & =1\pm\sqrt{1+4}\\ & =1\pm\sqrt{5} \end{align*} このとき、
\[ y=1\pm\sqrt{5} \] となる。
すなわち、$\left(x,y\right)=\left(1\pm\sqrt{5},1\pm\sqrt{5}\right)$である。