反復コンウェイのチェーン表記

by · 2022年9月7日

反復コンウェイのチェーン表記

\[ f\left(x\right)=X\rightarrow\left(x\right)\rightarrow q \]
とすると、

\[ X\rightarrow\left(p+1\right)\rightarrow\left(q+1\right)=f^{p\circ}\left(X\right) \]

となる。

-

\(\rightarrow\)はコンウェイのチェーン表記

\begin{align*} X\rightarrow\left(p+1\right)\rightarrow\left(q+1\right) & =f\left(\left[X\rightarrow\left(p+1\right)\rightarrow\left(q+1\right)\right]_{p\rightarrow p-1}\right)\\ & =\left[f\left(X\rightarrow\left(p+1\right)\rightarrow\left(q+1\right)\right)\right]_{p\rightarrow p-1}\\ & =\left[f^{p\circ}\left(X\rightarrow\left(p+1\right)\rightarrow\left(q+1\right)\right)\right]_{p\rightarrow0}-\sum_{k=0}^{p-1}\left[\left[f^{\left(k+1\right)\circ}\left(X\rightarrow\left(p+1\right)\rightarrow\left(q+1\right)\right)\right]_{p\rightarrow p-\left(k+1\right)}-\left[f^{k\circ}\left(X\rightarrow\left(p+1\right)\rightarrow\left(q+1\right)\right)\right]_{p\rightarrow p-k}\right]\\ & =\left[f^{p\circ}\left(X\rightarrow\left(p+1\right)\rightarrow\left(q+1\right)\right)\right]_{p\rightarrow0}\\ & =f^{p\circ}\left(X\rightarrow1\rightarrow\left(q+1\right)\right)\\ & =f^{p\circ}\left(X\right) \end{align*}

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反復コンウェイのチェーン表記

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ハイバー演算子の基本的な値
\[ H_{n}\left(0,a\right)=\begin{cases} a+1 & n=0\\ a & n=1\\ 0 & n=2\\ \delta_{0a} & n=3\\ \delta_{0,\mod\left(a,2\right)} & n=4,5,\cdots \end{cases} \]
ハイバー演算子とクヌースの矢印表記の関係
\[ H_{n}\left(a,b\right)=a\uparrow^{n-2}b\;,\;n\in\mathbb{Z} \]
2年生の夢(高さ2のテトレーションの0から1までの定積分)
\[ \int_{0}^{1}\frac{1}{x^{x}}dx=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{k}} \]
コンウェイのチェーン表記の優先順位
\begin{align*} & a\rightarrow\left(b\rightarrow c\right)\\ & a\rightarrow b\rightarrow c\\ & \left(a\rightarrow b\right)\rightarrow c \end{align*}