クヌースの矢印表記の定義

クヌースの矢印表記の定義

(1)定義

クヌースの矢印表記は以下で定義される。

\(b,n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。

\[ a\uparrow^{n}b:=\begin{cases} ab & n=0\\ 1 & n\geq1\;\land\;b=0\\ \underbrace{a\uparrow^{n-1}a\uparrow^{n-1}\cdots\uparrow^{n-1}a}_{b\;copies\;of\;a} & otherwise \end{cases} \]

これは、

\[ a\uparrow^{n}b=\begin{cases} ab & n=0\\ 1 & n\geq1\;\land\;b=0\\ a\uparrow^{n-1}\left(a\uparrow^{n}\left(b-1\right)\right) & otherwise \end{cases} \]

と同じである。

(2)結合法則

クヌースの矢印表記は右結合で定義される。

\[ a\uparrow^{m}b\uparrow^{n}c=a\uparrow^{m}\left(b\uparrow^{n}c\right) \]

\(b\ne0\)のとき、

\begin{align*} a\uparrow^{n}b & =\underbrace{a\uparrow^{n-1}a\uparrow^{n-1}\cdots\uparrow^{n-1}a}_{b\;copies\;of\;a}\\ & =a\uparrow^{n-1}\underbrace{a\uparrow^{n-1}\cdots\uparrow^{n-1}a}_{b-1\;copies\;of\;a}\\ & =a\uparrow^{n-1}\left(a\uparrow^{n}\left(b-1\right)\right) \end{align*}

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タイトル

クヌースの矢印表記の定義

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https://www.nomuramath.com/yqbnfypd/

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