ハイパー演算子とクヌースの矢印表記の(2,2)の値
ハイパー演算子とクヌースの矢印表記の(2,2)の値
(1)
\(n\in\left\{ -1,-2\right\} \cup\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[ 2\uparrow^{n}2=4-\delta_{-2,n} \]
(2)
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[ H_{n}\left(2,2\right)=4-\delta_{0,n} \]
-
\(H_{n}\left(a,b\right)\)はハイパー演算子
\(a\uparrow^{n}b\)はクヌースの矢印表記
(1)
\(n=-2\)のとき、
\begin{align*} 2\uparrow^{-2}2 & =2+1\\ & =3 \end{align*}
\(n=-1\)のとき、
\begin{align*} 2\uparrow^{-1}2 & =2+2\\ & =4 \end{align*}
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)のとき、
\begin{align*} 2\uparrow^{n}2 & =2\uparrow^{n-1}\left(2\uparrow^{n}1\right)\\ & =2\uparrow^{n-1}2\\ & =2\uparrow^{-1}2\\ & =4 \end{align*}
-
これより、
\[ 2\uparrow^{n}2=4-\delta_{-2,n} \]
となる。
(2)
\(n=0\)のとき、
\begin{align*} H_{0}\left(2,2\right) & =3\\ & =4-\delta_{0,0} \end{align*}
\(n=1\)のとき、
\begin{align*} H_{1}\left(2,2\right) & =2+2\\ & =4 \end{align*}
\(n=2,3,\cdots\)のとき、
\begin{align*} H_{n}\left(2,2\right) & =2\uparrow^{n-2}2\\ & =4 \end{align*}
となる。
-
これらより、与式は成り立つ。
ページ情報
タイトル | ハイパー演算子とクヌースの矢印表記の(2,2)の値 |
URL | https://www.nomuramath.com/mwv5iyjd/ |
SNSボタン |