階乗を和に直しましょう
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{\left(3n\right)!}{\left(2n\right)!}}=?\]
アダマールの補題とベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式(BCH公式)
\[e^{A}e^{B}=\exp\left(A+B+\frac{1}{2}\left[A,B\right]+\frac{1}{12}\left[A-B,\left[A,B\right]\right]+\cdots\right)\]
交換子が定数になるときの性質
\[\left[A^{n},B\right]=n\left[A,B\right]A^{n-1}\]
積の交換子の性質
\[\left[A^{n},B\right]=\sum_{k=1}^{n}A^{n-k}\left[A,B\right]A^{k-1}\]
反交換子を含む基本的性質(反交換関係)
\[\left[AB,C\right]=A\left\{ B,C\right\} -\left\{ A,C\right\} B\]
交換子の基本的性質(交換関係)
\[\left[A,BC\right]=\left[A,B\right]C+B\left[A,C\right]\]
エルミートと交換子・反交換子
\[A=A^{*}\land B=B^{*}\rightarrow\left[A,B\right]^{*}=-\left[A,B\right]\]
交換子・反交換子と指数関数の定義
\[\left[\hat{A},\hat{B}\right]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}\]
無限級数の項別積分と項別微分
\[\sum_{k=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_{k}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)dx\]
極限と積分・微分の順序変更
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f_{n}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)dx\]
ワイエルシュトラスのM判定法(優級数判定法)
連続な関数列の一様収束極限は連続関数
各点収束するが一様収束しない例
各点収束・一様収束・広義一様収束の包含関係
\[\text{一様収束}\Rightarrow\text{各点収束}\]
実数列では一様収束と一様コーシー列は同値
一様コーシー列・一様収束列の定義と性質
\[\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in I;\left(N\leq m,n\right)\rightarrow d\left(f_{m}\left(x\right),f_{n}\left(x\right)\right)<\epsilon\]
各点収束と一様収束と広義一様収束の定義と性質
\[\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0\]
カントールの区間縮小法
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理
有界実数列は収束する部分列を持つ。
距離空間での連続を開近傍を使って表現
\[\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,f\left(U_{\delta}\left(a\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)\]
2つの距離関数と点列・開集合・閉集合の関係
実数全体の集合は完備距離空間
距離空間では点列の収束先は一意的
分母に正接がある関数の定積分
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{\tan x}dx=?\]
分母に総和がある数の総和
\[\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\cdots=?\]