カタラン数の漸化式
\[C_{n+1}=\frac{2\left(2n+1\right)}{n+2}C_{n}\]
カタラン数の別表現
\[C_{n}=\frac{1}{n+1}C\left(2n,n\right)\]
カタラン数の通常型母関数
\[\sum_{k=0}^{\infty}C_{k}x^{k}=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\]
カタラン数の定義
\[C_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}C_{k}C_{n-k}\]
複雑な2重根号を含む定積分
\[\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt{x^{2}+1+\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}}dx=?\]
クロネッカーのデルタの微分表示
\[\delta_{j,k}=\frac{1}{k!}\left[\frac{\partial^{j}}{\partial x^{j}}x^{k}\right]_{x\rightarrow0}\]
飛び飛びの2項定理
\[\sum_{k=0}^{\infty}C\left(n,2k\right)a^{2k}b^{n-2k}=\frac{1}{2}\left\{ \left(a+b\right)^{n}+\left(-a+b\right)^{n}\right\} \]
6本のマッチで正3角形を4つ作れるかな？
底が異なる指数方程式
\[9^{x}-6^{x}=4^{x}\]
3次方程式を解けるかな
\[z^{3}+z^{2}=36\]
(*)スターリング数と2項係数
\[C\left(k,m\right)S_{1}\left(n,k\right)=\sum_{j=k-m}^{n-m}C\left(n,j\right)S_{1}\left(n-j,m\right)S_{1}\left(j,k-m\right),m\leq k\]
スターリング数の母関数
\[\sum_{n=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)\frac{x^{n}}{n!}=\frac{\log^{k}\left(1+x\right)}{k!}\]
スターリング数の解釈
\[\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)=\sum_{1\leq a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n-k}\leq n-1}\prod_{j=1}^{n-k}a_{j}\]
スターリング数の簡単な値
\[S_{1}\left(0,k\right)=\delta_{0k}\]
スターリング数とベルヌーイ数の関係
\[\frac{\left(-1\right)^{m}}{m!}\sum_{k=0}^{m}\left(-1\right)^{k}S_{1}\left(m+1,k+1\right)B_{k}=\frac{1}{m+1}\]
第1種・第2種スターリング数の性質
\[\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)=n!\]
スターリング数と上昇・下降階乗
\[Q\left(x,n\right)=\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)x^{k}\]
スターリング数の逆行列
\[\delta_{nj}=\sum_{k=0}^{n}S_{1}\left(n,k\right)S_{2}\left(k,j\right)\]
第2種スターリング数の一般解
\[S_{2}\left(n,k\right)=\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{k-j}C\left(k,j\right)j^{n}\]
スターリング数の組み合わせ解釈
(*)スターリング数の漸化式
\[S_{1}\left(n,k\right)=S_{1}\left(n-1,k-1\right)-\left(n-1\right)S_{1}\left(n-1,k\right)\]
第1種スターリング数の符号
\[\left|S_{1}\left(n,k\right)\right|=\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)\]
第1種スターリング数と第2種スターリング数の定義
\[P\left(x,n\right)=\sum_{k=0}^{n}S_{1}\left(n,k\right)x^{k}\]