リーマン・ゼータ関数を含む総和
リーマン・ゼータ関数を含む総和
次が成り立つ。
\[ \sum_{k=2}^{\infty}\frac{\zeta\left(k\right)-1}{k}=1-\gamma \]
\(\gamma\)はオイラー・マスケローニ定数
次が成り立つ。
\[ \sum_{k=2}^{\infty}\frac{\zeta\left(k\right)-1}{k}=1-\gamma \]
-
\(\zeta\left(s\right)\)はリーマン・ゼータ関数\(\gamma\)はオイラー・マスケローニ定数
\begin{align*}
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\zeta\left(k\right)-1}{k} & =\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\zeta\left(k\right)\Gamma\left(k\right)-\Gamma\left(k\right)}{k!}\\
& =\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\int_{0}^{\infty}\frac{x^{k-1}}{e^{x}-1}dx-\int_{0}^{\infty}x^{k-1}e^{-x}dx\right)\\
& =\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k!}\int_{0}^{\infty}x^{k-1}\left(\frac{1}{e^{x}-1}-e^{-x}\right)dx\\
& =\int_{0}^{\infty}\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k!}x^{k-1}\left(\frac{1}{e^{x}-1}-e^{-x}\right)dx\cmt{\text{総和と積分の順序変更}}\\
& =\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x}\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k!}x^{k}\left(\frac{1}{e^{x}-1}-e^{-x}\right)dx\\
& =\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x}\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}x^{k}-\left(1+x\right)\right)\left(\frac{1}{e^{x}-1}-e^{-x}\right)dx\\
& =\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x}\left(e^{x}-1-x\right)\left(\frac{1}{e^{x}-1}-e^{-x}\right)dx\\
& =\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x}\left(1-\left(e^{x}-1\right)e^{-x}-\frac{x}{e^{x}-1}+xe^{-x}\right)dx\\
& =\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x}\left(-\frac{x}{e^{x}-1}+\left(1+x\right)e^{-x}\right)dx\\
& =\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{e^{x}-1}+x^{-1}e^{-x}+e^{-x}\right)dx\\
& =\int_{0}^{\infty}\left(-\frac{1}{e^{x}-1}+x^{-1}e^{-x}+\frac{1-e^{-x}}{e^{x}-1}\right)dx\\
& =\int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-x}}{e^{x}-1}\right)dx\\
& =\int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-2x}}{1-e^{-x}}\right)dx\\
& =\left[\log\left(x\right)e^{-x}\right]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}\left(\log\left(x\right)e^{-x}-e^{-2x}\sum_{k=0}^{\infty}e^{-kx}\right)dx\\
& =-\lim_{x\rightarrow0}\log\left(x\right)+\left[\frac{d}{dt}\int_{0}^{\infty}x^{t}e^{-x}dx\right]_{t=0}-\int_{0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}e^{-\left(k+2\right)x}dx\\
& =-\lim_{x\rightarrow1}\log\left(1-x\right)+\left[\frac{d}{dt}\Gamma\left(t+1\right)\right]_{t=0}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+2}\left[e^{-\left(k+2\right)x}\right]_{0}^{\infty}\cmt{\text{積分と総和の順序変更}}\\
& =\lim_{x\rightarrow1}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k}+\left[\Gamma\left(t+1\right)\frac{d}{dt}\log\Gamma\left(t+1\right)\right]_{t=0}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+2}\\
& =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}+\left[\Gamma\left(t+1\right)\psi\left(t+1\right)\right]_{t=0}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k+1}\\
& =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}+\Gamma\left(1\right)\psi\left(1\right)+H_{1}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\\
& =\Gamma\left(1\right)\psi\left(1\right)+H_{1}\\
& =1-\gamma
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | リーマン・ゼータ関数を含む総和 |
| URL | https://www.nomuramath.com/hmjw5b8u/ |
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リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の関係
\[
\zeta\left(s,1\right)=\zeta\left(s\right)
\]
フルヴィッツ・ゼータ関数の第2引数での微分とテーラー展開
\[
\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\zeta\left(s,z\right)=P\left(-s,n\right)\zeta\left(s+n,z\right)
\]
(*)フルヴィッツの公式
\[
\zeta\left(1-s,a\right)=\frac{\Gamma\left(s\right)}{\left(2\pi\right)^{s}}\left\{ e^{-i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{2\pi ia}\right)+e^{i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{-2\pi ia}\right)\right\}
\]
フルヴィッツ・ゼータ関数の積分表現
\[
\zeta\left(s,\alpha\right)=\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-\alpha t}}{1-e^{-t}}dt
\]