連続な関数列の一様収束極限は連続関数

\(\Rightarrow\)

区間\(I\)で\(f_{n}\left(x\right)\)が一様収束するので、
\[ \forall\epsilon>0,\exists N,\forall x\in I,N\leq n\Rightarrow\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\frac{\epsilon}{3} \] 区間\(I\)で\(f_{n}\left(x\right)\)が連続であるので、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\left|x-x_{0}\right|<\delta\Rightarrow\left|f_{n}\left(x\right)-f_{n}\left(x_{0}\right)\right|<\frac{\epsilon}{3} \] 任意の\(\epsilon\)で成り立つので同じ\(\epsilon\)を使う。
\(x_{0}\in I\)を固定し\(\left|x-x_{0}\right|<\delta\)を満たす任意の\(x\in I\)に対し、
\begin{align*} \left|f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right| & =\left|f\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)+f_{n}\left(x\right)-f_{n}\left(x_{0}\right)+f_{n}\left(x_{0}\right)-f\left(x_{0}\right)\right|\\ & \leq\left|f\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right|+\left|f_{n}\left(x\right)-f_{n}\left(x_{0}\right)\right|+\left|f_{n}\left(x_{0}\right)-f\left(x_{0}\right)\right|\\ & <\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}+\frac{\epsilon}{3}\\ & =\epsilon \end{align*} となるので、関数\(f\left(x\right)\)は\(x_{0}\)で連続となる。
\(x_{0}\)は\(I\)の任意の点で成り立つので\(f\left(x\right)\)は\(I\)で連続となる。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない

関数列\(f_{n}\left(x\right)\)が\(f\left(x\right)\)に各点収束して連続であっても\(f\left(x\right)\)が一様収束するとは限らない。
反例で示す。
例えば、区間\(\left[0,1\right]\)で定義された関数列を
\[ f_{n}\left(x\right)=\begin{cases} 2n^{2}x & 0\leq x<\frac{1}{2n}\\ 2n\left(1-nx\right) & \frac{1}{2n}\leq x<\frac{1}{n}\\ 1 & \frac{1}{n}\leq x\leq1 \end{cases} \] とすると、関数列\(f_{n}\left(x\right)\)は\(f\left(x\right)=0\)に各点収束するので連続である。
しかし、\(f_{n}\left(\frac{1}{2n}\right)=n\)なので
\begin{align*} \sup_{0\leq x\leq1}\left|f_{n}\left(x\right)-0\right| & =\sup_{0\leq x\leq1}\left|f_{n}\left(x\right)\right|\\ & =n \end{align*} となるので関数列\(f_{n}\left(x\right)\)は\(f\left(x\right)=0\)に一様収束しない。