ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理
有界実数列は収束する部分列を持つ。
有界実数列は収束する部分列を持つ。
有界実数列を\(a_{n}\)とすると、有界なので\(a_{n}\in I_{0}=\left[b_{0},c_{0}\right]\)と表される。
区間\(I_{k}=\left[b_{k},c_{k}\right]\)に無限個の項があるとき、区間を半分に分割するとどちらかには無限個の項が存在するのでそれを\(I_{k+1}\)とする。
区間縮小法により、\(I_{k}\)はある実数\(a\)に収束する。
\(I_{k}\)には無限個の項があるので、任意の自然数\(n\)に対し、\(m>n\)を満たす\(a_{m}\in I_{k}\)が存在する。
これより、\(n\left(k\right)<n\left(k+1\right)\)を満たすように\(a_{n(k)}\in I_{k}\)を選ぶことができる。
そうすると、\(b_{k}\leq a_{n(k)}\leq c_{k}\)となるので挟み撃ちの原理より\(a_{n(k)}\)は\(a\)に収束する。
故に題意は成り立つ。
区間\(I_{k}=\left[b_{k},c_{k}\right]\)に無限個の項があるとき、区間を半分に分割するとどちらかには無限個の項が存在するのでそれを\(I_{k+1}\)とする。
区間縮小法により、\(I_{k}\)はある実数\(a\)に収束する。
\(I_{k}\)には無限個の項があるので、任意の自然数\(n\)に対し、\(m>n\)を満たす\(a_{m}\in I_{k}\)が存在する。
これより、\(n\left(k\right)<n\left(k+1\right)\)を満たすように\(a_{n(k)}\in I_{k}\)を選ぶことができる。
そうすると、\(b_{k}\leq a_{n(k)}\leq c_{k}\)となるので挟み撃ちの原理より\(a_{n(k)}\)は\(a\)に収束する。
故に題意は成り立つ。
ページ情報
タイトル | ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理 |
URL | https://www.nomuramath.com/hbbbwwr8/ |
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上限・下限と上極限・下極限の積の大小関係
\[
\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)
\]
連続な関数列の一様収束極限は連続関数
各点収束と一様収束と広義一様収束の定義
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0
\]
収束列・コーシー列・完備・完備化の定義
\[
\lim_{n,m\rightarrow\infty}d\left(a_{m},a_{n}\right)=0
\]