一様コーシー列の定義
一様コーシー列の定義
関数列\(f_{n}(x)\)の定義域を\(I\)とする。
このとき、
\[ \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in I;\left(N\leq m,n\right)\rightarrow d\left(f_{m}\left(x\right),f_{n}\left(x\right)\right)<\epsilon \] ならば関数列\(f_{n}(x)\)を一様コーシー列という。
関数列\(f_{n}(x)\)の定義域を\(I\)とする。
このとき、
\[ \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in I;\left(N\leq m,n\right)\rightarrow d\left(f_{m}\left(x\right),f_{n}\left(x\right)\right)<\epsilon \] ならば関数列\(f_{n}(x)\)を一様コーシー列という。
\(x\in\mathbb{R}\)として\(f_{n}\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\)とする。
このとき、任意の\(\epsilon>0\)に対し、自然数\(N\in\mathbb{N}\)を\(\frac{1}{\epsilon}\leq N\)となるようにとなる。
\(N\leq m,n\)のとき、
\begin{align*} \left|f_{m}\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right| & =\left|\frac{1}{x^{2}+m^{2}}-\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\right|\\ & =\left|\frac{1}{x^{2}+m^{2}}+\left(-\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\right)\right|\\ & =\frac{1}{x^{2}+m^{2}}+\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\\ & =\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{n^{2}}\\ & \leq\frac{1}{N^{2}}+\frac{1}{N^{2}}\\ & =\frac{2}{N^{2}}\\ & \leq\frac{2}{N}\\ & \leq2\epsilon \end{align*} となるので、\(f_{n}\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\)は一様コーシー列になる。
このとき、任意の\(\epsilon>0\)に対し、自然数\(N\in\mathbb{N}\)を\(\frac{1}{\epsilon}\leq N\)となるようにとなる。
\(N\leq m,n\)のとき、
\begin{align*} \left|f_{m}\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right| & =\left|\frac{1}{x^{2}+m^{2}}-\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\right|\\ & =\left|\frac{1}{x^{2}+m^{2}}+\left(-\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\right)\right|\\ & =\frac{1}{x^{2}+m^{2}}+\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\\ & =\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{n^{2}}\\ & \leq\frac{1}{N^{2}}+\frac{1}{N^{2}}\\ & =\frac{2}{N^{2}}\\ & \leq\frac{2}{N}\\ & \leq2\epsilon \end{align*} となるので、\(f_{n}\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\)は一様コーシー列になる。
ページ情報
| タイトル | 一様コーシー列の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/jhorqk6g/ |
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上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の定数倍
\[
\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right)=\begin{cases}
c\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\
c\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\
0 & c=0
\end{cases}
\]
各点収束と一様収束と広義一様収束の定義
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0
\]
項別積分と項別微分
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_{k}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)dx
\]
収束列ならばコーシー列
収束列ならばコーシー列となるが逆は一般に成り立たない。