一様コーシー列の定義

by nomura · 2024年4月9日

一様コーシー列の定義
関数列$f_{n}(x)$の定義域を$I$とする。
このとき、
\[ \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in I;\left(N\leq m,n\right)\rightarrow d\left(f_{m}\left(x\right),f_{n}\left(x\right)\right)<\epsilon \] ならば関数列$f_{n}(x)$を一様コーシー列という。

$x\in\mathbb{R}$として$f_{n}\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}+n^{2}}$とする。
このとき、任意の$\epsilon>0$に対し、自然数$N\in\mathbb{N}$を$\frac{1}{\epsilon}\leq N$となるようにとなる。
$N\leq m,n$のとき、
\begin{align*} \left|f_{m}\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right| & =\left|\frac{1}{x^{2}+m^{2}}-\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\right|\\ & =\left|\frac{1}{x^{2}+m^{2}}+\left(-\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\right)\right|\\ & =\frac{1}{x^{2}+m^{2}}+\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\\ & =\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{n^{2}}\\ & \leq\frac{1}{N^{2}}+\frac{1}{N^{2}}\\ & =\frac{2}{N^{2}}\\ & \leq\frac{2}{N}\\ & \leq2\epsilon \end{align*} となるので、$f_{n}\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}+n^{2}}$は一様コーシー列になる。