カントールの区間縮小法
カントールの区間縮小法
閉区間\(I_{n}=\left[a_{n},b_{n}\right],\left(n\in\mathbb{N}\right)\)が\(I_{n}\supseteq I_{n+1}\)を満たし、\(\lim_{n\rightarrow\infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)=0\)となるとき、\(\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_{n}=\left\{ \alpha\right\} \)となる\(\alpha\)が存在する。
ここで\(\alpha=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}\)である。
閉区間\(I_{n}=\left[a_{n},b_{n}\right],\left(n\in\mathbb{N}\right)\)が\(I_{n}\supseteq I_{n+1}\)を満たし、\(\lim_{n\rightarrow\infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)=0\)となるとき、\(\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_{n}=\left\{ \alpha\right\} \)となる\(\alpha\)が存在する。
ここで\(\alpha=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}\)である。
\(a_{n}\)は有界で単調増加数列であるので\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\alpha\)となる\(\alpha\)が存在する。
同様に\(b_{n}\)は有界で単調減少数列であるので\(\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=\beta\)となる\(\beta\)が存在する。
\(\lim_{n\rightarrow\infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)=\beta-\alpha=0\)なので\(\alpha=\beta\)となる。
任意の\(n\)に対し\(a_{n}\leq\alpha\leq b_{n}\)となるので\(\alpha\in I_{n}\)となり、\(\lim_{n\rightarrow\infty}I_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left[a_{n},b_{n}\right]=\alpha\)となる。
これより、題意は成り立つ。
同様に\(b_{n}\)は有界で単調減少数列であるので\(\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=\beta\)となる\(\beta\)が存在する。
\(\lim_{n\rightarrow\infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)=\beta-\alpha=0\)なので\(\alpha=\beta\)となる。
任意の\(n\)に対し\(a_{n}\leq\alpha\leq b_{n}\)となるので\(\alpha\in I_{n}\)となり、\(\lim_{n\rightarrow\infty}I_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left[a_{n},b_{n}\right]=\alpha\)となる。
これより、題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | カントールの区間縮小法 |
| URL | https://www.nomuramath.com/tmv0mq6l/ |
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条件収束と絶対収束の定義
数列$\left\{ a_{n}\right\} $の各項$a_{n}$の絶対値をとった総和が$\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|<\infty$となるとき、$\sum_{k=1}^{\infty}a_{n}$は絶対収束するという。
実数での上界・下界・有界・最大値・最小値の定義
\[
\left(\exists x\in A,\forall a\in A,a\leq x\right)\Leftrightarrow\max A=x
\]
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理
有界実数列は収束する部分列を持つ。
上限と下限・最大元と最小元・上極限と下極限との関係
\[
\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(-a_{n}\right)=-\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right)
\]