ワイエルシュトラスのM判定法(優級数判定法)

一様収束

任意の\(x\in I\)に対し、
\[ \left|f_{n}\left(x\right)\right|\leq M_{n} \] が成り立つので、
\begin{align*} \sup_{x\in I}\left|\sum_{k=1}^{n}f_{k}\left(x\right)-\sum_{k=1}^{m-1}f_{k}\left(x\right)\right| & =\sup_{x\in I}\left|\sum_{k=m}^{n}f_{k}\left(x\right)\right|\\ & \leq\sum_{k=m}^{n}\sup_{x\in I}\left|f_{k}\left(x\right)\right|\\ & \leq\sum_{k=m}^{n}M_{k} \end{align*} となるので、\(n\rightarrow\infty,m\rightarrow\infty\)とすると、
\begin{align*} \lim_{n,m\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}\left|\sum_{k=1}^{n}f_{k}\left(x\right)-\sum_{k=1}^{m-1}f_{k}\left(x\right)\right| & \leq\lim_{n,m\rightarrow\infty}\sum_{k=m}^{n}M_{k}\\ & =0 \end{align*} より、\(\left(\sum_{k=1}^{n}f_{k}\left(x\right)\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は一様コーシー列となるので一様収束する。

絶対収束

任意の\(x\in I\)に対し、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\left|f_{k}\left(x\right)\right| & \leq\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)\right|\\ & \leq\sum_{k=1}^{\infty}M_{k}\\ & <\infty \end{align*} となるので\(\sum_{k=1}^{\infty}f_{n}\left(x\right)\)は絶対収束する。