交換子の基本的性質(交換関係)
交換子の基本的性質(交換関係)
\(A,B\)を演算子とすると交換子について次が成り立つ。
\(A,B\)を演算子とすると交換子について次が成り立つ。
(1)
\[ \left[A,A\right]=0 \](2)交代性(反可換)
\[ \left[A,B\right]=-\left[B,A\right] \](3)線形性(分配法則)
\[ \left[A,B+C\right]=\left[A,B\right]+\left[A,C\right] \](4)線形性(分配法則)
\[ \left[A+B,C\right]=\left[A,C\right]+\left[B,C\right] \](5)ライプニッツ則
\[ \left[A,BC\right]=\left[A,B\right]C+B\left[A,C\right] \](6)ライプニッツ則
\[ \left[AB,C\right]=\left[A,C\right]B+A\left[B,C\right] \](7)ライプニッツ則3個
\[ \left[ABC,D\right]=\left[A,D\right]BC+A\left[B,D\right]C+AB\left[C,D\right] \](8)ライプニッツ則3個
\[ \left[A,BCD\right]=\left[A,B\right]CD+B\left[A,C\right]D+BC\left[A,D\right] \](9)ライプニッツ則2\(\times\)2個
\begin{align*} \left[AB,CD\right] & =\left[A,C\right]DB+C\left[A,D\right]B+A\left[B,C\right]D+AC\left[B,D\right]\\ & =\left[A,C\right]BD+A\left[B,C\right]D+C\left[A,D\right]B+CA\left[B,D\right] \end{align*}(10)ヤコビの恒等式
\[ \left[\left[A,B\right],C\right]+\left[\left[B,C\right],A\right]+\left[\left[C,A\right],B\right]=0 \](11)ヤコビの恒等式4個
\[ \left[\left[A,C\right],\left[B,D\right]\right]=\left[\left[\left[A,B\right],C\right],D\right]+\left[\left[\left[D,A\right],B\right],C\right]+\left[\left[\left[C,D\right],A\right],B\right]\left[\left[\left[B,C\right],D\right],A\right] \](1)
\begin{align*} \left[A,A\right] & =AA-AA\\ & =0 \end{align*}(2)
\begin{align*} \left[A,B\right] & =AB-BA\\ & =-\left(BA-AB\right)\\ & =-\left[B,A\right] \end{align*}(3)
\begin{align*} \left[A,B+C\right] & =A\left(B+C\right)-\left(B+C\right)A\\ & =AB-BA+AC-CA\\ & =\left[A,B\right]+\left[A,C\right] \end{align*}(4)
\begin{align*} \left[A+B,C\right] & =-\left[C,A+B\right]\\ & =-\left(\left[C,A\right]+\left[C,B\right]\right)\\ & =\left[A,C\right]+\left[B,C\right] \end{align*}(4)-2
\begin{align*} \left[A+B,C\right] & =\left(A+B\right)C-C\left(A+B\right)\\ & =AC-CA+BC-CB\\ & =\left[A,C\right]+\left[B,C\right] \end{align*}(5)
\begin{align*} \left[A,BC\right] & =ABC-BCA\\ & =ABC-BAC+BAC-BCA\\ & =\left[A,B\right]C+B\left[A,C\right] \end{align*}(6)
\begin{align*} \left[AB,C\right] & =-\left[C,AB\right]\\ & =-\left(A\left[C,B\right]+\left[C,A\right]B\right)\\ & =\left[A,C\right]B+A\left[B,C\right] \end{align*}(7)
\begin{align*} \left[ABC,D\right] & =\left[A,D\right]BC+A\left[BC,D\right]\\ & =\left[A,D\right]BC+A\left(\left[B,D\right]C+B\left[C,D\right]\right)\\ & =\left[A,D\right]BC+A\left[B,D\right]C+AB\left[C,D\right] \end{align*}(8)
\begin{align*} \left[A,BCD\right] & =-\left[BCD,A\right]\\ & =-\left(\left[B,A\right]CD+B\left[C,A\right]D+BC\left[D,A\right]\right)\\ & =\left[A,B\right]CD+B\left[A,C\right]D+BC\left[A,D\right] \end{align*}(9)
\begin{align*} \left[AB,CD\right] & =\left[A,CD\right]B+A\left[B,CD\right]\\ & =\left(\left[A,C\right]D+C\left[A,D\right]\right)B+A\left(\left[B,C\right]D+C\left[B,D\right]\right)\\ & =\left[A,C\right]DB+C\left[A,D\right]B+A\left[B,C\right]D+AC\left[B,D\right] \end{align*} \begin{align*} \left[AB,CD\right] & =\left[AB,C\right]D+C\left[AB,D\right]\\ & =\left(\left[A,C\right]B+A\left[B,C\right]\right)D+C\left(\left[A,D\right]B+A\left[B,D\right]\right)\\ & =\left[A,C\right]BD+A\left[B,C\right]D+C\left[A,D\right]B+CA\left[B,D\right] \end{align*}(9)-2
片方からもう片方の導出。\begin{align*} \left[AB,CD\right] & =\left[A,C\right]DB+C\left[A,D\right]B+A\left[B,C\right]D+AC\left[B,D\right]\\ & =\left[A,C\right]\left(\left[D,B\right]+BD\right)+C\left[A,D\right]B+A\left[B,C\right]D+\left(\left[A,C\right]+CA\right)\left[B,D\right]\\ & =\left[A,C\right]\left[D,B\right]+\left[A,C\right]BD+C\left[A,D\right]B+A\left[B,C\right]D+\left[A,C\right]\left[B,D\right]+CA\left[B,D\right]\\ & =\left[A,C\right]BD+C\left[A,D\right]B+A\left[B,C\right]D+CA\left[B,D\right] \end{align*}
(10)
\begin{align*} \left[\left[A,B\right],C\right] & =\left[AB-BA,C\right]\\ & =\left[AB,C\right]-\left[BA,C\right]\\ & =A\left[B,C\right]+\left[A,C\right]B-B\left[A,C\right]-\left[B,C\right]A\\ & =A\left[B,C\right]-\left[B,C\right]A-\left[C,A\right]B+B\left[C,A\right]\\ & =-\left[\left[B,C\right],A\right]-\left[\left[C,A\right],B\right] \end{align*} これより、\[ \left[\left[A,B\right],C\right]+\left[\left[B,C\right],A\right]+\left[\left[C,A\right],B\right]=0 \]
(11)
\begin{align*} \left[\left[A,C\right],\left[B,D\right]\right] & =-\left[\left[C,\left[B,D\right]\right],A\right]-\left[\left[\left[B,D\right],A\right],C\right]\\ & =\left[\left[D,\left[C,B\right]\right],A\right]+\left[\left[B,\left[D,C\right]\right],A\right]+\left[\left[\left[A,B\right],D\right],C\right]+\left[\left[\left[D,A\right],B\right],C\right]\\ & =\left[\left[\left[B,C\right],D\right],A\right]-\left[\left[A,B\right],\left[D,C\right]\right]-\left[\left[\left[D,C\right],A\right],B\right]-\left[\left[C,\left[A,B\right]\right],D\right]-\left[\left[D,C\right],\left[A,B\right]\right]+\left[\left[\left[D,A\right],B\right],C\right]\\ & =\left[\left[\left[A,B\right],C\right],D\right]+\left[\left[\left[D,A\right],B\right],C\right]+\left[\left[\left[C,D\right],A\right],B\right]\left[\left[\left[B,C\right],D\right],A\right] \end{align*}ページ情報
| タイトル | 交換子の基本的性質(交換関係) |
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ベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式(BCH公式)
\[
e^{A}e^{B}=\exp\left(A+B+\frac{1}{2}\left[A,B\right]+\frac{1}{12}\left[A-B,\left[A,B\right]\right]+\cdots\right)
\]
エルミートと交換子・反交換子
\[
A=A^{*}\land B=B^{*}\rightarrow\left[A,B\right]^{*}=-\left[A,B\right]
\]
反交換子を含む基本的性質(反交換関係)
\[
\left[AB,C\right]=A\left\{ B,C\right\} -\left\{ A,C\right\} B
\]
交換子が定数になるときの性質
\[
\left[A^{n},B\right]=n\left[A,B\right]A^{n-1}
\]