ヒルベルト空間の凸射影定理と直交射影定理
\[H=A\oplus A^{\perp}\]
直交補空間の性質
\[\left(X+Y\right)^{\perp}=X^{\perp}\cap Y^{\perp}\]
行列式と行・列の入れ替え
\[\det\left(\boldsymbol{a}_{\tau\left(1\right)},\boldsymbol{a}_{\tau\left(2\right)},\cdots,\boldsymbol{a}_{\tau\left(n\right)}\right)=\sgn\left(\tau\right)\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\]
不変部分空間の定義と性質
\[f\left(W\right)\subseteq W\]
ベクトル空間の和・直和・和集合・積集合・直積の定義と基本性質
\[V_{1}+V_{2}=\left\{ \boldsymbol{v}_{1}+\boldsymbol{v}_{2};\boldsymbol{v}_{1}\in V,\boldsymbol{v}_{2}\in V\right\} \]
内積の連続性
\[\lim_{k\rightarrow\infty}\left\langle \boldsymbol{x}_{k},\boldsymbol{y}_{k}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \]
ユニタリ変換の定義と性質
\[\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \]
計量を保つ写像・計量同型写像・等長写像・等長同型写像の定義と性質
\[\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle _{V}=\left\langle f\left(\boldsymbol{x}\right),f\left(\boldsymbol{y}\right)\right\rangle _{W}\]
グラム・シュミットの直交化
\[\boldsymbol{b}_{m}=\frac{\boldsymbol{b}'_{m}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{m}\right\Vert },\boldsymbol{b}'_{m}=\boldsymbol{a}_{m}-\sum_{k=1}^{m-1}\left\langle \boldsymbol{a}_{m},\frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\right\rangle \frac{\boldsymbol{b}'_{k}}{\left\Vert \boldsymbol{b}'_{k}\right\Vert }\]
正規直交基底での内積
\[\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\sum_{k=1}^{n}x_{k}\overline{y_{k}}\]
直交するならば1次独立
直交・直交直和・直交補空間・直交基底・正規直交基底の定義
\[W^{\bot}=\left\{ \boldsymbol{x}\in V;\forall\boldsymbol{y}\in W,\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =0\right\} \]
標準エルミート内積と標準内積
\[\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\sum_{k=1}^{n}x_{k}\overline{y_{k}}\]
0ベクトルとの内積
\[\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{0}\right\rangle =0\]
パーセバルの等式
\[\sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \right|^{2}=\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\]
ベッセルの不等式
\[\sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\]
(*)完全正規直交系と同値な条件
\[\forall\boldsymbol{x}\in H,\boldsymbol{x}=\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \boldsymbol{e}_{k}\]
バナッハ空間とヒルベルト空間の定義
完備なノルム空間をバナッハ空間という。
直交系・正規直交系・完全正規直交系の定義
\[\forall k,\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle =0\rightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\]
アフィン変換・正則アフィン変換・合同変換の定義
\[f:K^{n}\rightarrow K^{n},\boldsymbol{x}\mapsto A\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\]
ノルム空間・中線定理・内積空間の関係
\[\text{ノルム空間}+\text{中線定理}\Leftrightarrow\text{内積空間}\]
コーシー・シュワルツの不等式
\[\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right|\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert \]
内積空間の定義
\[\left(V,\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle \right)\]
ノルム空間ならば距離空間
\[d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert \]