(1)

内積空間\(\Rightarrow\)ノルム空間\(\Rightarrow\)距離空間\(\Rightarrow\)位相空間
となる。

(2)

ノルム空間に距離\(d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert \)を定めることにより距離空間にすることができる。
しかし、距離空間があるときノルムを\(d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert \)と定めると、独立性と劣加法性は満たすが、斉次性は満たすとは限らない。
従って、距離空間にノルム\(d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert \)を定めてノルム空間にできるとは限らない。
距離空間は集合同士の距離が定義された空間であって、その集合はベクトル空間でなくてもよいからである。
これを示す。
ノルム空間での独立性は距離空間での非退化性より、
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert =0 & \Leftrightarrow\left\Vert \boldsymbol{u}-\boldsymbol{0}\right\Vert =0\\ & \Leftrightarrow d\left(\boldsymbol{u},\boldsymbol{0}\right)=0\\ & \Leftrightarrow\boldsymbol{u}=\boldsymbol{0}\cmt{\because\text{非退化性}} \end{align*} となるので満たす。
また、ノルム空間での劣加法性は距離空間での3角不等式より、\(\boldsymbol{u}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{z},\boldsymbol{v}=\boldsymbol{z}-\boldsymbol{y}\)とおくと
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}\right\Vert & =\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{z}+\boldsymbol{z}-\boldsymbol{y}\right\Vert \\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert \\ & =d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\\ & \leq d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right)+d\left(\boldsymbol{z},\boldsymbol{y}\right)\cmt{\because\text{3角不等式}}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{z}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{z}-\boldsymbol{y}\right\Vert \\ & =\left\Vert \boldsymbol{u}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{v}\right\Vert \end{align*} となるので満たす。
次に斉次性を満たすとは限らないことを示す。
反例で示す。
離散距離
\[ d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\begin{cases} 0 & \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\\ 1 & \boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{y} \end{cases} \] は距離関数であり、\(d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert \)と定めると、\(d\left(1,0\right)=1=d\left(2,0\right)\)である。
ここで、斉次性が成り立つと仮定する。
そうすると、斉次性より、\(d\left(1,0\right)=\left\Vert 1-0\right\Vert =\left\Vert 1\right\Vert ,d\left(2,0\right)=\left\Vert 2-0\right\Vert =\left\Vert 2\right\Vert =2\left\Vert 1\right\Vert \)となり、\(d\left(1,0\right)=\left\Vert 1\right\Vert \ne2\left\Vert 1\right\Vert =d\left(2,0\right)\)となり、矛盾が生じる。
従って、背理法より斉次性が成り立っていないので、斉次性を満たすとは限らない。
これらより、独立性と劣加法性は満たすが、斉次性は満たすとは限らない。