双対空間の定義と性質
\[V^{*}=\hom_{K}\left(V,K\right)\]
線形写像全体のなす集合の定義
\[\hom_{K}\left(V,W\right)\]
ベクトル空間の次元と同型の関係
\[\dim V=\dim W<\infty\Rightarrow V\simeq W\]
ベクトル空間の準同型定理
\[V/\ker f\simeq\im f\]
ベクトル空間の商写像
\[f:V\rightarrow V/N;\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{x}+N\]
商空間(商ベクトル空間)の定義と性質
\[V/N=\left\{ \boldsymbol{x}+N;\boldsymbol{x}\in V\right\} \]
ベクトル空間での剰余集合での和集合・積集合・差集合・対称差の演算
\[\left(A\cup B\right)/C=\left(A/C\right)\cup\left(B/C\right)\]
商集合と商類の性質
\[A+\left\{ C\right\} =\left\{ C\right\} +A\]
ベクトル空間での平行移動と集合の和と商集合の違い
\[\left\{ \boldsymbol{a}+B;\boldsymbol{a}\in A\right\} =A/B\]
ベクトル空間での剰余集合(商集合)と剰余類(商類)の定義と性質
\[\left(A/B\right)^{c}\subseteq A^{c}/B\]
相対的同型と絶対的同型の定義
ベクトル空間の線形同型は同値関係
ベクトル空間の同型$\simeq$は同値関係を満たす。
ベクトル空間の線形同型写像・線形同型の定義と性質
線形写像$f$が全単射であるとき、線形同型写像という。
線形写像の合成写像と像
$f$が全射であるとき、$\im\left(g\circ f\right)=\im g$となる。
線形写像の全射・単射と像・核と次元
単射であることと、$\ker f=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} $となることは同値である。
線形写像・行列における次元定理
\[\dim V=\dim\im f+\dim\ker f\]
線形写像の核と像の定義と性質
\[\ker f=\left\{ \boldsymbol{x}\in V;f\left(\boldsymbol{x}\right)=0_{W}\right\} \]
線形写像と線形変換と表現行列の関係
\[f\left(\boldsymbol{x}\right)=A\boldsymbol{x}\]
基底変換行列と表現行列の関係
\[B=Q^{-1}AP\]
線形写像の合成と表現行列の積
\[A_{g\circ f}=A_{g}A_{f}\]
表現行列の定義とベクトルの成分
\[\left(f\left(\boldsymbol{v}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{v}_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{v}_{m}\right)\right)=\left(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right)A\]
線形写像・零写像・線形変換・ 恒等変換の定義と性質
\[\begin{cases}f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)=f\left(\boldsymbol{x}\right)+f\left(\boldsymbol{y}\right)\\f\left(c\boldsymbol{x}\right)=cf\left(\boldsymbol{x}\right)\end{cases}\]
基底の性質
$K^{n}$空間では$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}$が基底であることと、$\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\ne0$であることは同値である。
和空間・積集合の次元
\[\dim W_{1}+\dim W_{2}=\dim\left(W_{1}+W_{2}\right)+\dim\left(W_{1}\cap W_{2}\right)\]
ベクトル空間の次元の定義
ベクトルの基底と成分の変換
\[\left(\boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2},\cdots,\boldsymbol{y}_{n}\right)=\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right)P\]
ベクトルの基底に関する成分
\[\boldsymbol{v}=\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right)\left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\\vdots\\a_{n}\end{array}\right)\]