ベクトル空間と双対空間で恒等的に零となる式

by nomura · 2026年4月15日

ベクトル空間と双対空間で恒等的に零となる式

(1)

体$K$上の有限次元ベクトル空間$V$があるとき、双対空間$V^{*}$のある元$\phi\in V^{*}$が存在し、任意の元$\boldsymbol{x}\in V$について、$\phi\left(\boldsymbol{x}\right)=0$であることと$\phi=0_{V^{*}}$であることは同値である。

(2)

体$K$上の有限次元ベクトル空間$V$があるとき、ある元$\boldsymbol{x}\in V$が存在し、双対空間$V^{*}$の任意の元$\phi\in V^{*}$について、$\phi\left(\boldsymbol{x}\right)=0$であることと$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}_{V}$であることは同値である。

(1)

$\Rightarrow$

$\dim\left(V\right)=n<\infty$として$V$の基底を$\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}$として、$V^{*}$の双対基底を$\boldsymbol{v}^{1},\boldsymbol{v}^{2},\cdots,\boldsymbol{v}^{n}$とする。
このとき、ある$\left(x^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} },\left(\phi_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq K$が存在し、$\boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{n}x^{k}\boldsymbol{v}_{k},\phi=\sum_{k=1}^{n}\phi_{k}\boldsymbol{v}^{k}$と表すことができる。
これより、
\begin{align*} 0 & =\phi\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =\left(\sum_{i=1}^{n}\phi_{i}\boldsymbol{v}^{i}\right)\left(\sum_{j=1}^{n}x^{j}\boldsymbol{v}_{j}\right)\\ & =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\phi_{i}x^{j}\boldsymbol{v}^{i}\boldsymbol{v}_{j}\\ & =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\phi_{i}x^{j}\delta_{j}^{i}\\ & =\sum_{i=1}^{n}\phi_{i}x^{i} \end{align*} となり、これは任意の$\boldsymbol{x}\in V$について成り立つので、$k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} $として$x^{i}=\delta_{k}^{i}$とおくと、
\begin{align*} 0 & =\sum_{i=1}^{n}\phi_{i}x^{i}\\ & =\sum_{i=1}^{n}\phi_{i}\delta_{k}^{i}\\ & =\phi_{k} \end{align*} となるので、$\phi=\sum_{k=1}^{n}\phi_{k}\boldsymbol{v}^{k}=0_{V^{*}}$となる。
従って、題意は成り立つ。

$\Leftarrow$

$\phi=0_{V^{*}}$であるとき、$\phi\left(\boldsymbol{x}\right)=0_{V^{*}}\left(\boldsymbol{x}\right)=0$となる。
従って、$\Leftarrow$が成り立つ。

$\Leftrightarrow$

これらより、$\Rightarrow$と$\Leftarrow$が成り立つので$\Leftrightarrow$が成り立つ。

(2)

$\Rightarrow$

$\dim\left(V\right)=n<\infty$として$V$の基底を$\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}$として、$V^{*}$の双対基底を$\boldsymbol{v}^{1},\boldsymbol{v}^{2},\cdots,\boldsymbol{v}^{n}$とする。
このとき、ある$\left(x^{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} },\left(\phi_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\subseteq K$が存在し、$\boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{n}x^{k}\boldsymbol{v}_{k},\phi=\sum_{k=1}^{n}\phi_{k}\boldsymbol{v}^{k}$と表すことができる。
これより、
\begin{align*} 0 & =\phi\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =\left(\sum_{i=1}^{n}\phi_{i}\boldsymbol{v}^{i}\right)\left(\sum_{j=1}^{n}x^{j}\boldsymbol{v}_{j}\right)\\ & =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\phi_{i}x^{j}\boldsymbol{v}^{i}\boldsymbol{v}_{j}\\ & =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\phi_{i}x^{j}\delta_{j}^{i}\\ & =\sum_{i=1}^{n}\phi_{i}x^{i} \end{align*} となり、これは任意の$\phi\in V^{*}$について成り立つので、$k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} $として$\phi_{i}=\delta_{i}^{k}$とおくと、
\begin{align*} 0 & =\sum_{i=1}^{n}\phi_{i}x^{i}\\ & =\sum_{i=1}^{n}\delta_{i}^{k}x^{i}\\ & =x^{k} \end{align*} となるので、$\boldsymbol{x}=\sum_{k=1}^{n}x^{k}\boldsymbol{v}_{k}=\boldsymbol{0}_{V}$となる。
従って、$\Rightarrow$が成り立つ。

$\Leftarrow$

$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}_{V}$であるとき、$\phi\left(\boldsymbol{x}\right)=\phi\left(\boldsymbol{0}_{V}\right)=0$となる。
従って、$\Leftarrow$が成り立つ。

$\Leftrightarrow$

これらより、$\Rightarrow$と$\Leftarrow$が成り立つので$\Leftrightarrow$が成り立つ。