ノルム空間・中線定理・内積空間の関係

by nomura · 2026年4月23日

ノルム空間・中線定理・内積空間の関係
ノルム空間\(V\)があり、任意の\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V\)に対し、中線定理
\[ \left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}=2\left(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\right) \] を満たすことと、内積を
\[ \left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\frac{1}{4}\left(\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}+i\left\Vert \boldsymbol{x}+i\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-i\left\Vert \boldsymbol{x}-i\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\right) \] と定めると\(V\)は内積空間となることは同値である。
すなわち、
\[ \text{ノルム空間}+\text{中線定理}\Leftrightarrow\text{内積空間} \] となる。

これより、内積空間ならばノルム空間が成り立つが逆は一般的に成り立たない。
反例を示す。
\(\mathbb{R}^{2}\)で2次元無限大ノルムを考える。
すなわち、\(\left(a,b\right)\in\mathbb{R}^{2}\)として\(\left\Vert \left(a,b\right)\right\Vert =\max\left\{ \left|a\right|,\left|b\right|\right\} \)となる。
2次元無限大ノルムはノルムであるが、\(\boldsymbol{x}=\left(1,0\right),\boldsymbol{y}=\left(0,1\right)\)とすると、中線定理の左辺は、
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2} & =\left\Vert \left(1,1\right)\right\Vert ^{2}+\left\Vert \left(1,-1\right)\right\Vert ^{2}\\ & =1^{2}+1^{2}\\ & =2 \end{align*} となり、右辺は、
\begin{align*} 2\left(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\right) & =2\left(\left\Vert \left(1,0\right)\right\Vert ^{2}+\left\Vert \left(0,1\right)\right\Vert ^{2}\right)\\ & =2\left(1^{2}+1^{2}\right)\\ & =4 \end{align*} となるので中線定理が成り立っていない。
従って、ノルム空間であるが中線定理が成り立っていないので内積空間ではない。
故にノルム空間ならば内積空間であるとは限らない。

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中線定理と内積を導出してみる。
\[ \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}:=\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \] と定義すると、
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}\pm\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2} & =\left\langle \boldsymbol{x}\pm\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\pm\boldsymbol{y}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \pm\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \pm\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right\rangle +\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{y}\right\rangle \\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\pm\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle +\overline{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle }\right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\pm2\Re\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2} \end{align*} となるので、
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2} & =\left(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+2\Re\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\right)+\left(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-2\Re\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\right)\\ & =2\left(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\right) \end{align*} となり中線定理となる。
また、
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}\pm i\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2} & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\pm2\Re\left(\left\langle \boldsymbol{x},i\boldsymbol{y}\right\rangle \right)+\left\Vert i\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\pm2\Re\left(-i\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\mp2\Re\left(i\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\pm2\Im\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2} \end{align*} であるので、
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}+i\left\Vert \boldsymbol{x}+i\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-i\left\Vert \boldsymbol{x}-i\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2} & =\left(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+2\Re\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\right)-\left(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-2\Re\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\right)+i\left(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+2\Im\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\right)-i\left(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-2\Im\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\right)\\ & =4\Re\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)+4i\Im\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)\\ & =4\left(\Re\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)+i\Im\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)\right)\\ & =4\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \end{align*} となるので、
\[ \left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\frac{1}{4}\left(\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}+i\left\Vert \boldsymbol{x}+i\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-i\left\Vert \boldsymbol{x}-i\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\right) \] となり内積となる。
この式で\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\)とすると、
\begin{align*} \left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle & =\frac{1}{4}\left(\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+i\left\Vert \boldsymbol{x}+i\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-i\left\Vert \boldsymbol{x}-i\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\right)\\ & =\frac{1}{4}\left(\left\Vert 2\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+i\left\Vert \left(1+i\right)\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-i\left\Vert \left(1-i\right)\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\right)\\ & =\frac{1}{4}\left(4\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+2i\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-2i\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\right)\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} \end{align*} となり最初に定義した式と一致する。
また、内積\(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \)が実数の場合は、\(\Im\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)=0\)なので、
\[ \left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\frac{1}{4}\left(\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\right) \] となる。
また、\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{y}\)が直交つまり\(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =0\)となる場合は、
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}\pm\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2} & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\pm2\Re\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2} \end{align*} となり、3平方の定理となる。

\(\Rightarrow\)

半正定値性

\begin{align*} \left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle & =\frac{1}{4}\left(\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+i\left\Vert \boldsymbol{x}+i\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-i\left\Vert \boldsymbol{x}-i\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\right)\\ & =\frac{1}{4}\left(\left\Vert 2\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \boldsymbol{0}\right\Vert ^{2}+i\left\Vert \left(1+i\right)\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-i\left\Vert \left(1-i\right)\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\right)\\ & =\frac{1}{4}\left(4\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \boldsymbol{0}\right\Vert ^{2}+2i\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-2i\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\right)\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\\ & \geq0 \end{align*} となるので半正定値性を満たす。

非退化性

\(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\Leftrightarrow\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}=0\Leftrightarrow\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)
となるので非退化性を満たす。

エルミート対称性

\begin{align*} \left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle & =\frac{1}{4}\left(\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}+i\left\Vert \boldsymbol{x}+i\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-i\left\Vert \boldsymbol{x}-i\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\right)\\ & =\frac{1}{4}\left(\left\Vert \boldsymbol{y}+\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+i\left\Vert \boldsymbol{y}-i\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-i\left\Vert \boldsymbol{y}+i\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\right)\\ & =\frac{1}{4}\left(\left\Vert \boldsymbol{y}+\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-i\left\Vert \boldsymbol{y}+i\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+i\left\Vert \boldsymbol{y}-i\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\right)\\ & =\overline{\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right\rangle } \end{align*} となるのでエルミート対称性を満たす。

第1変数に対する線形性

\begin{align*} \left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle +\left\langle \boldsymbol{z},\boldsymbol{y}\right\rangle & =\frac{1}{4}\left(\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}+i\left\Vert \boldsymbol{x}+i\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-i\left\Vert \boldsymbol{x}-i\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \boldsymbol{z}+\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \boldsymbol{z}-\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}+i\left\Vert \boldsymbol{z}+i\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-i\left\Vert \boldsymbol{z}-i\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\right)\\ & =\frac{1}{4}\left(\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \boldsymbol{z}+\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \boldsymbol{z}-\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}+i\left\Vert \boldsymbol{x}+i\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}+i\left\Vert \boldsymbol{z}+i\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-i\left\Vert \boldsymbol{x}-i\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-i\left\Vert \boldsymbol{z}-i\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\right)\\ & =\frac{1}{8}\left(\left\Vert \boldsymbol{x}+2\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{z}\right\Vert ^{2}-\left(\left\Vert \boldsymbol{x}-2\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{z}\right\Vert ^{2}\right)+i\left(\left\Vert \boldsymbol{x}+2i\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{z}\right\Vert ^{2}\right)-i\left(\left\Vert \boldsymbol{x}-2i\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{z}\right\Vert ^{2}\right)\right)\\ & =\frac{1}{8}\left(\left\Vert \boldsymbol{x}+2\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \boldsymbol{x}-2\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right\Vert ^{2}+i\left(\left\Vert \boldsymbol{x}+2i\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \boldsymbol{x}-2i\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right\Vert ^{2}\right)\right)\\ & =\frac{1}{8}\left(\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{z}+2\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{z}-2\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}+i\left(\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{z}+2i\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{z}-2i\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\right)\right)\\ & =\frac{1}{2}\left\langle \boldsymbol{x}+\boldsymbol{z},2\boldsymbol{y}\right\rangle \end{align*} となり、これを使うと、
\begin{align*} \left\langle \boldsymbol{x},2\boldsymbol{y}\right\rangle & =\left\langle \boldsymbol{x}+\boldsymbol{0},2\boldsymbol{y}\right\rangle \\ & =2\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle +\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)\\ & =2\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle +\frac{1}{4}\left(\left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{0}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{0}\right\Vert ^{2}+i\left\Vert \boldsymbol{x}+i\boldsymbol{0}\right\Vert ^{2}-i\left\Vert \boldsymbol{x}-i\boldsymbol{0}\right\Vert ^{2}\right)\right)\\ & =2\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle +\frac{1}{4}\left(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+i\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-i\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\right)\right)\\ & =2\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \end{align*} となるので、
\begin{align*} \left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle +\left\langle \boldsymbol{z},\boldsymbol{y}\right\rangle & =\frac{1}{2}\left\langle \boldsymbol{x}+\boldsymbol{z},2\boldsymbol{y}\right\rangle \\ & =\frac{1}{2}\cdot2\left\langle \boldsymbol{x}+\boldsymbol{z},\boldsymbol{y}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x}+\boldsymbol{z},\boldsymbol{y}\right\rangle \end{align*} となる。
これより、
\begin{align*} \left\langle \left(\alpha+\beta\right)\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle & =\left\langle \alpha\boldsymbol{x}+\beta\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \\ & =\left\langle \alpha\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle +\left\langle \beta\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \end{align*} を満たし\(\left\langle \alpha\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \)は\(\alpha\)に関して連続であるのでコーシーの関数方程式より、\(\left\langle \alpha\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\alpha\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \)となる。
従って
\begin{align*} \left\langle \alpha\boldsymbol{x+\beta}\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right\rangle & =\left\langle \alpha\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle +\left\langle \beta\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \\ & =\alpha\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right\rangle +\beta\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right\rangle \end{align*} となるので第1変数に対する線形性を満たす。

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これらより、半正定値性・エルミート対称性・第1変数に対する線形性を満たすので\(V\)は内積空間となる。

\(\Leftarrow\)

内積空間\(\left(V,\left\langle \cdot,\cdot\right\rangle \right)\)があるとき、ノルム\(\left\Vert \cdot\right\Vert :V\rightarrow\left[0,\infty\right)\)を
\[ \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =\sqrt{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle } \] と定める。

中線定理

中線定理が成り立つことを示す。
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert & =\sqrt{\left\langle \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\rangle }\\ & =\sqrt{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle +\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle +\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right\rangle +\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{y}\right\rangle }\\ & =\sqrt{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle +\overline{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle }+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}}\\ & =\sqrt{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+2\Re\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}} \end{align*} \begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert & =\sqrt{\left\langle \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\rangle }\\ & =\sqrt{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\rangle +\left\langle -\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\rangle }\\ & =\sqrt{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle -\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle -\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right\rangle +\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{y}\right\rangle }\\ & =\sqrt{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle -\overline{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle }+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}}\\ & =\sqrt{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-2\Re\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}} \end{align*} であるので、
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert ^{2} & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+2\Re\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}-2\Re\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\\ & =2\left(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert ^{2}\right) \end{align*} が成り立つ。
従って中線定理を満たす。

ノルム空間

ノルム空間が成り立つことを示す。

独立性

\(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\Leftrightarrow\boldsymbol{x}=0\)が成り立ち\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =\sqrt{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle }\)なので、\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =0\Leftrightarrow\sqrt{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle }=0\Leftrightarrow\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\Leftrightarrow\boldsymbol{x}=0\)となるので、独立性を満たす。

斉次性

\begin{align*} \left\Vert \alpha\boldsymbol{x}\right\Vert & =\sqrt{\left\langle \alpha\boldsymbol{x},\alpha\boldsymbol{x}\right\rangle }\\ & =\sqrt{\alpha\left\langle \boldsymbol{x},\alpha\boldsymbol{x}\right\rangle }\\ & =\sqrt{\alpha\overline{\left\langle \alpha\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle }}\\ & =\sqrt{\alpha\overline{\alpha}\overline{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle }}\\ & =\sqrt{\left|\alpha\right|^{2}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle }\\ & =\left|\alpha\right|\sqrt{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle }\\ & =\left|\alpha\right|\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \end{align*} となるので斉次性を満たす。

劣加法性

\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\Vert & =\sqrt{\left\langle \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\rangle }\\ & =\sqrt{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\rangle +\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right\rangle }\\ & =\sqrt{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle +\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle +\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right\rangle +\left\langle \boldsymbol{y},\boldsymbol{y}\right\rangle }\\ & =\sqrt{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert +\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle +\overline{\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle }+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert }\\ & =\sqrt{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert +2\Re\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert }\\ & \leq\sqrt{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert +2\left|\Re\left(\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right)\right|+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert }\\ & \leq\sqrt{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert +2\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle \right|+\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert }\\ & \leq\sqrt{\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert +2\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert }\cmt{\because\text{コーシー・シュワルツの不等式}}\\ & =\sqrt{\left(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert \right)^{2}}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert +\left\Vert \boldsymbol{y}\right\Vert \end{align*} となるので劣加法性を満たす。