集合が同じで位相が異なる空間
同じ集合で位相が異なる位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{1}\right),\left(X,\mathcal{O}_{2}\right)\)がある。
同じ集合で位相が異なる位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{1}\right),\left(X,\mathcal{O}_{2}\right)\)がある。
(1)
\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)は位相、すなわち\(\left(X,\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\right)\)は位相空間となる。(2)
\(\mathcal{O}_{1}\cup\mathcal{O}_{2}\)は一般的に位相とならない。(1)
\(\mathcal{O}_{1}\)にも\(\mathcal{O}_{2}\)にも空集合\(\emptyset\)と全体集合\(X\)が含まれているので、\(\emptyset,X\in\)\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)となる。\(O_{1},O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)とすると、\(O_{1},O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\)なので\(O_{1}\cap O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\)となり、同様に\(O_{1}\cap O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{2}\)となるので\(O_{1}\cap O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)となる。
\(\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)とすると、\(\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{1}\)なので\(\bigcup\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{1}\)となり、同様に\(\bigcup\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{2}\)となり、\(\bigcup\mathcal{O}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)となる。
これらより、位相であるための条件を満たしているので\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)は位相となる。
(2)
反例で示す。2つの位相空間を\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right),\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)とすると、\(\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \cup\left\{ \emptyset,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} =\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)となるが、\(\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ b,c\right\} =\left\{ b\right\} \)が位相に入っていない。
故に\(\mathcal{O}_{1}\cup\mathcal{O}_{2}\)は一般的に位相とならない。
ページ情報
| タイトル | 集合が同じで位相が異なる空間 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ybq15255/ |
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2つの集合族同士の演算
\[
\left(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap\left(\prod_{\mu\in\Lambda}B_{\mu}\right)=\prod_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B_{\lambda}\right)
\]
和集合・積集合の元とそれぞれの集合との関係
\[
a\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\Leftrightarrow\bigvee_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda}
\]
直積集合の性質
\[
\left(A\times B\right)^{c}=\left(A^{c}\times B^{c}\right)\cup\left(A^{c}\times B\right)\cup\left(A\times B^{c}\right)
\]
直積集合の定義
\[
A\times B:=\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\right\}
\]