集合が同じで位相が異なる空間
集合が同じで位相が異なる空間
同じ集合で位相が異なる位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{1}\right),\left(X,\mathcal{O}_{2}\right)\)がある。
同じ集合で位相が異なる位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{1}\right),\left(X,\mathcal{O}_{2}\right)\)がある。
(1)
\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)は位相、すなわち\(\left(X,\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\right)\)は位相空間となる。(2)
\(\mathcal{O}_{1}\cup\mathcal{O}_{2}\)は一般的に位相とならない。(1)
\(\mathcal{O}_{1}\)にも\(\mathcal{O}_{2}\)にも空集合\(\emptyset\)と全体集合\(X\)が含まれているので、\(\emptyset,X\in\)\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)となる。\(O_{1},O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)とすると、\(O_{1},O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\)なので\(O_{1}\cap O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\)となり、同様に\(O_{1}\cap O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{2}\)となるので\(O_{1}\cap O_{2}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)となる。
\(\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)とすると、\(\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{1}\)なので\(\bigcup\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{1}\)となり、同様に\(\bigcup\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{2}\)となり、\(\bigcup\mathcal{O}\in\)\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)となる。
これらより、位相であるための条件を満たしているので\(\mathcal{O}_{1}\cap\mathcal{O}_{2}\)は位相となる。
(2)
反例で示す。2つの位相空間を\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right),\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)とすると、\(\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \cup\left\{ \emptyset,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} =\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)となるが、\(\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ b,c\right\} =\left\{ b\right\} \)が位相に入っていない。
故に\(\mathcal{O}_{1}\cup\mathcal{O}_{2}\)は一般的に位相とならない。
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タイトル | 集合が同じで位相が異なる空間 |
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剰余演算同士の和・差
\[
\mod\left(x,a,b\right)+\mod\left(y,a,b\right)=\mod\left(x+y,a,b\right)+a\mzp_{0,1}\left(b\sgn\left(a\right),b\sgn\left(a\right)+\left|a\right|;\sgn\left(a\right)\left(\mod\left(x,a,b\right)+\mod\left(y,a,b\right)\right)\right)
\]
1から4までの個数問題
この文章には
1が?個
2が?個
3が?個
4が?個
あります。
部分積分と繰り返し部分積分
\[
\int f(x)g(x)dx=\sum_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^{k}f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x)+(-1)^{n}\int f^{(-n)}(x)g^{(n)}(x)dx
\]
まずは分母から処理しましょう
\[
\frac{2^{11}+3^{8}+6^{5}}{2^{5}+2^{8}+3^{6}}=?
\]