連続と開基との関係
連続と開基との関係
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{X}\right)\)から位相空間\(\left(Y,\mathcal{O}_{Y}\right)\)への写像\(f:X\rightarrow Y\)があるとき、\(f\)が連続であることと、\(Y\)の開基\(\mathcal{B}_{Y}\)の任意の元\(B_{Y}\)に対し\(f^{\bullet}\left(B_{Y}\right)\in\mathcal{O}_{X}\)となることは同値である。
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{X}\right)\)から位相空間\(\left(Y,\mathcal{O}_{Y}\right)\)への写像\(f:X\rightarrow Y\)があるとき、\(f\)が連続であることと、\(Y\)の開基\(\mathcal{B}_{Y}\)の任意の元\(B_{Y}\)に対し\(f^{\bullet}\left(B_{Y}\right)\in\mathcal{O}_{X}\)となることは同値である。
\(\Rightarrow\)
\(B_{Y}\in\mathcal{B}_{Y}\subseteq\mathcal{O}_{Y}\)なので、任意の\(B_{Y}\in\mathcal{B}_{Y}\)に対し、ある\(O_{Y}\in\mathcal{O}_{Y}\)が存在し、\(O_{Y}=B_{Y}\)となるので、\(f\)が連続であるという条件より\(f^{\bullet}\left(B_{Y}\right)=f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)\in\mathcal{O}_{X}\)となる。故に\(\Rightarrow\)が成り立つ。
\(\Leftarrow\)
条件より、\(\mathcal{B}_{Y}=\left\{ B_{Y,\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} \)とすると、任意の\(B_{Y,\lambda}\in\mathcal{B}_{Y}\)に対し、ある\(O_{X,\lambda}\in\mathcal{O}_{X}\)が存在し\(f^{\bullet}\left(B_{Y,\lambda}\right)=O_{X,\lambda}\)となる。\(\mathcal{B}_{Y}\)は開基なので、任意の\(\mathcal{O}_{Y}\)の元\(O_{Y}\in\mathcal{O}_{Y}\)に対し、ある集合\(\Lambda'\)が存在し、\(O_{Y}=\bigcup\left\{ B_{Y,\lambda};\lambda\in\Lambda'\right\} =\bigcup_{\lambda\in\Lambda'}B_{Y,\lambda}\)となる。
これより、\(f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)=f^{\bullet}\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda'}B_{Y,\lambda}\right)=\bigcup_{\lambda\in\Lambda'}f^{\bullet}\left(B_{Y,\lambda}\right)=\bigcup_{\lambda\in\Lambda'}O_{X,\lambda}\in\mathcal{O}_{X}\)となるので、\(f\)は連続となる。
故に\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\(\Leftrightarrow\)
これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。ページ情報
タイトル | 連続と開基との関係 |
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x tan(x)とx tanh(x)の積分
\[
\int z\tan^{\pm1}\left(z\right)dz=i^{\pm1}\left\{ \frac{1}{2}z^{2}-iz\Li_{1}\left(\mp e^{2iz}\right)+\frac{1}{2}\Li_{2}\left(\mp e^{2iz}\right)\right\} +C
\]
距離空間でε-近傍は開集合
\[
\forall U_{\epsilon}\left(a\right)\subseteq X,\forall a_{0}\in U_{\epsilon}\left(a\right),\exists\epsilon_{0}>0,U_{\epsilon_{0}}\left(a_{0}\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(a\right)
\]
差積の定義と性質
\[
\Delta\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right):=\prod_{1\leq i<j\leq n}\left(x_{i}-x_{j}\right)
\]
対数のルート積分
\[
\int\log^{\frac{1}{2}}xdx=x\log^{\frac{1}{2}}x-\frac{\sqrt{\pi}}{2}erfi\left(\log^{\frac{1}{2}}x\right)+C
\]