第1可算と第2可算の定義
第1可算と第2可算の定義
言い換えると、位相空間の任意の元に対し、可算な基本近傍系が存在するとき、第1可算公理を満たす。
言い換えると、位相空間が可算な開基を持つとき第2可算公理を満たす。
(1)第1可算
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の任意の元\(x\in X\)において、ある基本近傍系\(\mathcal{B}_{x}\)が存在し、濃度が高々可算すなわち\(\left|\mathcal{B}_{x}\right|\leq\aleph_{0}\)のとき、第1可算である、または第1可算公理を満たすという。言い換えると、位相空間の任意の元に対し、可算な基本近傍系が存在するとき、第1可算公理を満たす。
(2)第2可算
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が与えられたとき、ある開基\(\mathcal{B}\)が存在し濃度が高々可算すなわち\(\left|\mathcal{B}\right|\leq\aleph_{0}\)のとき第2可算である、または第2可算公理を満たすという。言い換えると、位相空間が可算な開基を持つとき第2可算公理を満たす。
第1可算の例
通常距離\(d\)のユークリッド空間\(\left(\mathbb{R},d\right)\)は第1可算となる。何故なら任意の\(x\in\mathbb{R}\)に対し、\(\mathcal{B}_{x}=\left\{ U\left(x,\frac{1}{n}\right);n\in\mathbb{N}\right\} \)ととれば濃度が高々可算な基本近傍系となっているからである。
第1可算でない例
第1可算でない例としては補有限位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{c}\right)\)がある。第2可算の例
通常距離\(d\)のユークリッド空間\(\left(\mathbb{R},d\right)\)は第2可算となる。何故なら\(\mathcal{B}=\left\{ U\left(x,r\right);x\in\mathbb{Q},r\in\mathbb{Q}\right\} \)ととれば濃度が高々可算な開基となっているからである。
第2可算でない例
離散空間\(\left(\mathbb{R},2^{\mathbb{R}}\right)\)は第2可算とはならない。このときの開基は\(\mathcal{B}=\left\{ \left\{ x\right\} ;x\in\mathbb{R}\right\} \)だけでありこれは非可算集合であるからである。
第1可算であるが第2可算でない例
上限位相・下限位相は第1可算であるが第2可算でない。ページ情報
| タイトル | 第1可算と第2可算の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/of9hdqxq/ |
| SNSボタン |
ポリガンマ関数同士の差の極限
\[
\lim_{z\rightarrow0}\left(\psi^{\left(n\right)}\left(z-m\right)-\psi^{\left(n\right)}\left(z\right)\right)=n!H_{m,n+1}
\]
ヘヴィサイドの階段関数の極限表示
\[
H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\left(1+\tanh\left(kx\right)\right)
\]
『位相空間での内部・閉包・境界・導集合・孤立点全体の集合と和集合・積集合』を更新しました。
補有限位相はT1空間となる一番弱い位相