(1)

\(\left(X,\mathcal{O}_{X}\right)\)は第1可算公理を満たすので\(X\)での\(x\in A\)の可算基本開近傍系を\(\mathcal{U}_{x}\)とすると、\(\mathcal{V}_{x}:=\left\{ U_{x}\cap A;U_{x}\in\mathcal{U}_{x}\right\} \)は\(A\)での\(x\)の基本開近傍系であり、\(\left|\mathcal{V}_{x}\right|\leq\left|\mathcal{U}_{x}\right|\)となるので、\(\mathcal{V}_{x}\)は可算基本開近傍系となる。
\(\mathcal{V}_{x}\)は可算基本開近傍系なので可算基本近傍系となるので、部分位相空間\(\left(A,\mathcal{O}_{A}\right)\)も第1可算公理を満たす。

(2)

\(\left(X,\mathcal{O}_{X}\right),\left(X_{2},\mathcal{O}_{2}\right)\)は第1可算公理を満たすので\(\left(x,y\right)\in X\times Y\)として\(X\)での\(x\)の可算基本開近傍系を\(\mathcal{U}_{x}\)として、\(Y\)での\(y\)の可算基本開近傍系を\(\mathcal{V}_{y}\)とする。
このとき、\(\mathcal{W}_{\left(x,y\right)}:=\left\{ U_{x}\times V_{y};U_{x}\in\mathcal{U}_{x},V_{y}\in\mathcal{V}_{y}\right\} \)は\(X\times Y\)での\(\left(x,y\right)\)の基本開近傍系であり、\(\left|\mathcal{W}_{\left(x,y\right)}\right|\leq\left|\mathcal{U}_{x}\right|\left|\mathcal{V}_{y}\right|\)となるので、\(\mathcal{W}_{\left(x,y\right)}\)は可算基本開近傍系となる。
従って、\(\mathcal{W}_{\left(x,y\right)}\)は可算基本開近傍系なので可算基本近傍系となるので、直積空間\(X_{1}\times X_{2}\)も第1可算公理を満たす。

(3)

\(\left(X,\mathcal{O}_{X}\right)\)は第2可算公理を満たすので可算開基を\(\mathcal{B}_{X}=\left\{ B_{k};k\in\mathbb{N}\right\} \)として\(\mathcal{B}_{A}=\left\{ B_{X}\cap A;B_{X}\in\mathcal{B}_{X}\right\} \)とすれば\(\mathcal{B}_{A}\)は\(A\)の開基であり、\(\left|\mathcal{B}_{A}\right|\leq\left|\mathcal{B}_{X}\right|\)\(\leq\aleph_{0}\)なので\(\mathcal{B}_{A}\)は高々可算となる。
従って、部分位相空間\(\left(A,\mathcal{O}_{A}\right)\)は第2可算公理を満たす。

(3)-2

\(\left(X,\mathcal{O}_{X}\right)\)は第2可算公理を満たすので可算開基を\(\mathcal{B}_{X}\)として、\(\mathcal{B}_{A}=\left\{ B_{X}\cap A;B_{X}\in\mathcal{B}_{X}\right\} \)とおく。
このとき、\(\mathcal{O}_{A}=\left\{ O_{X}\cap A;O_{X}\in\mathcal{O}_{X}\right\} \)なので、\(A\)の任意の開集合\(O_{A}\in\mathcal{O}_{A}\)について、ある\(X\)の開集合\(O_{X}\in\mathcal{O}_{X}\)が存在し、\(O_{A}=O_{X}\cap A\)と表すことができる。
また、可算開基\(\mathcal{B}_{X}\)のある部分集合\(\mathcal{B}_{X}'\subseteq\mathcal{B}_{X}\)が存在し、\(O_{X}=\bigcup_{B_{X}\in\mathcal{B}_{X}'}B_{X}\)とできる。
これより、\(O_{A}=O_{X}\cap A=\left(\bigcup_{B_{X}\in\mathcal{B}_{X}'}B_{X}\right)\cap A=\bigcup_{B_{X}\in\mathcal{B}_{X}'}\left(B_{X}\cap A\right)\)となり、\(B_{X}\in\mathcal{B}_{X}'\subseteq\mathcal{B}_{X}\)なので\(B_{X}\cap A\in\mathcal{B}_{A}\)であるので、ある部分集合\(\mathcal{B}_{A}'\subseteq\mathcal{B}_{A}\)が存在し、\(O_{A}=\bigcup_{B_{X}\in\mathcal{B}_{X}'}\left(B_{X}\cap A\right)=\bigcup_{B_{A}\in\mathcal{B}_{A}'}B_{A}\)とできる。
このとき、\(\left|\mathcal{B}_{A}'\right|\leq\left|\mathcal{B}_{A}\right|\leq\left|\mathcal{B}_{X}\right|\leq\aleph_{0}\)となるので、部分位相空間\(\left(A,\mathcal{O}_{A}\right)\)も第2可算公理を満たす。
従って題意は成り立つ。

(4)

\(\left(X_{1},\mathcal{O}_{1}\right)\)は第2可算公理を満たすのでその可算開基を\(\mathcal{B}_{1}\)として、同様に\(\left(X_{2},\mathcal{O}_{2}\right)\)の可算開基を\(\mathcal{B}_{2}\)とする。
ここで、\(\mathcal{B}=\left\{ B_{1}\times B_{2};B_{1}\in\mathcal{B}_{1},B_{2}\in\mathcal{B}_{2}\right\} \)は\(X_{1}\times X_{2}\)の開基であり、\(\left|\mathcal{B}\right|=\)\(\left|\mathcal{B}_{1}\right|\left|\mathcal{B}_{2}\right|\leq\aleph_{0}\)となるので、\(\mathcal{B}\)は高々可算となる。
従って、直積空間\(X_{1}\times X_{2}\)は第2可算公理を満たす。

(4)-2

\(\left(X_{1},\mathcal{O}_{1}\right)\)は第2可算公理を満たすのでその可算開基を\(\mathcal{B}_{1}=\left\{ B_{1,k};k\in\mathbb{N}\right\} \)として、同様に\(\left(X_{2},\mathcal{O}_{2}\right)\)の可算開基を\(\mathcal{B}_{2}=\left\{ B_{2,k};k\in\mathbb{N}\right\} \)とする。
このとき、直積位相空間を\(\left(X_{1}\times X_{2},\mathcal{O}\right)\)として、任意の開集合\(O\in\mathcal{O}\)について、\(O_{1,\mu}\in\mathcal{O}_{1},O_{2,\mu}\in\mathcal{O}_{2}\)として、\(O=\bigcup_{\mu}O_{1,\mu}\times O_{2,\mu}\)と表される。
また、任意の元\(x=\left(x_{1},x_{2}\right)\in O=\bigcup_{\mu}O_{1,\mu}\times O_{2,\mu}\)について、ある\(\mu\)が存在し、\(\left(x_{1},x_{2}\right)\in O_{1,\mu}\times O_{2,\mu}\)となる。
このとき、ある\(B_{1,m}\in\mathcal{B}_{1},B_{2,n}\in\mathcal{B}_{2}\)が存在し、\(\left(X_{1},\mathcal{O}_{1}\right),\left(X_{2},\mathcal{O}_{2}\right)\)は共に第2可算公理を満たすので、\(x_{1}\in B_{1,m}\subseteq O_{1,\mu}\)と\(x_{2}\in B_{2,n}\subseteq O_{2,\mu}\)を満たす。
従って、\(x=\left(x_{1},x_{2}\right)\in B_{1,m}\times B_{2,n}\subseteq O_{1,\mu}\times O_{2,\mu}\subseteq O\)となるので、\(\mathcal{B}=\left\{ B_{1,m}\times B_{2,n};B_{1,n}\in\mathcal{B}_{1},B_{2,n}\in\mathcal{B}_{2}\right\} \)は開基となり\(\mathcal{B}_{1},\mathcal{B}_{2}\)は共に可算なので\(\mathcal{B}\)は可算となる。
故に直積空間\(X_{1}\times X_{2}\)は第2可算公理を満たす。

(5)

\(A\)の任意の開被覆を\(\mathcal{U}=\left\{ U_{\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} \)として、第2可算を満たす任意の可算開基を\(\mathcal{B}=\left\{ B_{k};k\in\mathbb{N}\right\} \)とする。
このとき、\(A\subseteq\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_{\lambda}\)であるので、任意の\(x\in A\)について、ある\(\lambda\in\Lambda\)が存在し、\(x\in U_{\lambda}\)となる。
このとき、\(\mathcal{B}\)は開基なのである\(n\in\mathbb{N}\)が存在し、\(x\in B_{n}\subseteq U_{\lambda}\)となる。
\(A\)の各点\(x\in A\)について、\(x\in B_{n}\subseteq U_{\lambda}\)を満たす\(B_{n},U_{\lambda}\)は\(\left\{ B_{n_{k}};k\in\mathbb{N}\right\} ,\left\{ U_{\lambda_{k}};k\in\mathbb{N}\right\} \)で表すことができる。
これより、
\begin{align*} A & =\bigcup_{x\in A}\left\{ x\right\} \\ & \subseteq\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left\{ B_{n_{k}}\right\} \\ & \subseteq\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\left\{ U_{\lambda_{k}}\right\} \end{align*} となる。
従って、任意の開被覆\(\mathcal{U}=\left\{ U_{\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} \)から高々可算個の\(\text{開被覆}\left\{ U_{\lambda_{k}};k\in\mathbb{N}\right\} \)を選び\(A\)で覆うことができる。
故に題意は成り立つ。

(6)

任意の開基を\(\mathcal{B}=\left\{ B_{\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} \)として、第2可算なので可算開基が存在しそれを\(\mathcal{A}=\left\{ A_{k};k\in\mathbb{N}\right\} \)とする。
任意の\(k\in\mathbb{N}\)について、ある部分集合\(\mathcal{B}'_{k}\subseteq\mathcal{B}\)が存在し、\(A_{k}\in\mathcal{A}\)は開基の元より開集合であるので、リンデレフの定理より、\(\mathcal{B}'_{k}\)は高々可算個で\(\mathcal{B}'_{k}=\left\{ B'_{k,j}\in\mathcal{B};j\in\mathbb{N}\right\} \)と表せるので\(A_{k}=\bigcup\mathcal{B}'_{k}=\bigcup_{j\in\mathbb{N}}B'_{k,j}\)となる。
そうすると、\(A_{1},A_{2},\cdots\)で使われている\(\mathcal{B}_{\mu}\)の元を全て集めた集合を作るとその濃度は高々\(\aleph_{0}\cdot\aleph_{0}=\aleph_{0}\)となるので可算個となり、これは開基となる。
従って、高々可算個の開集合\(\left\{ B_{\lambda_{k}};k\in\mathbb{N}\right\} \subseteq\mathcal{B}\)で可算開基\(\mathcal{A}=\left\{ B_{\lambda_{k}};k\in\mathbb{N}\right\} \)を作ることができる。