第2可算ならばリンデレフ空間

第2可算ならばリンデレフ空間
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が第2可算ならばリンデレフ空間である。
逆は一般的に成り立たない。
実数全体の集合\(\mathbb{R}\)に通常距離を入れた距離空間\(\left(\mathbb{R},d\right)\)は第2可算であるのでリンデレフ空間となる。

\(\Rightarrow\)

\(X\)の任意の開被覆を\(\mathcal{U}=\left\{ U_{\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} \)として、第2可算を満たす可算開基を\(\mathcal{B}=\left\{ B_{n};n\in\mathbb{N}\right\} \)とする。
任意の\(x\in X\)に対しある\(\lambda\in\Lambda\)が存在し、\(x\in U_{\lambda}\)を満たす。
またこのとき、ある\(n\in\mathbb{N}\)が存在し、\(x\in B_{n}\subseteq U_{\lambda}\)を満たす。
これを満たす\(B_{n}\)全体は\(\mathcal{B}\)の部分族となり、\(\left\{ B_{n_{i}};i\in\mathbb{N}\right\} \subseteq\mathcal{B}\)となる。
ここで\(U_{\lambda_{i}}\)を\(B_{n_{i}}\subseteq U_{\lambda}\)を満たす\(U_{\lambda}\)から1つを選び\(U_{\lambda_{i}}=U_{\lambda}\)とする。
そうすると、任意の\(x\in X\)に対し、ある\(i\in\mathbb{N}\)が存在し、\(x\in B_{n_{i}}\subseteq U_{\lambda_{i}}\)となるので\(X=\bigcup_{x\in X}\left\{ x\right\} \subseteq\bigcup_{i\in\mathbb{N}}B_{n_{i}}\subseteq\bigcup_{i\in\mathbb{N}}U_{\lambda_{i}}\)となり可算開被覆を持つのでリンデレフ空間となる。
これより\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
上限位相はリンデレフ空間であるが第2可算ではない。
故に\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

ページ情報
タイトル
第2可算ならばリンデレフ空間
URL
https://www.nomuramath.com/q494koc8/
SNSボタン