第2可算ならばリンデレフ空間

by nomura · 2024年7月2日

第2可算ならばリンデレフ空間
位相空間$\left(X,\mathcal{O}\right)$が第2可算ならばリンデレフ空間である。
逆は一般的に成り立たない。

実数全体の集合$\mathbb{R}$に通常距離を入れた距離空間$\left(\mathbb{R},d\right)$は第2可算であるのでリンデレフ空間となる。

$\Rightarrow$

$X$の任意の開被覆を$\mathcal{U}=\left\{ U_{\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} $として、第2可算を満たす可算開基を$\mathcal{B}=\left\{ B_{n};n\in\mathbb{N}\right\} $とする。
任意の$x\in X$に対しある$\lambda\in\Lambda$が存在し、$x\in U_{\lambda}$を満たす。
またこのとき、ある$n\in\mathbb{N}$が存在し、$x\in B_{n}\subseteq U_{\lambda}$を満たす。
各点$x$についてこれを満たす$B_{n}$全体は$\mathcal{B}$の部分族となり、$\left\{ B_{n_{i}};i\in\mathbb{N}\right\} \subseteq\mathcal{B}$となる。
ここで$U_{\lambda_{i}}$を$B_{n_{i}}\subseteq U_{\lambda}$を満たす$U_{\lambda}$から1つを選び$U_{\lambda_{i}}=U_{\lambda}$とする。
そうすると、任意の$x\in X$に対し、ある$i\in\mathbb{N}$が存在し、$x\in B_{n_{i}}\subseteq U_{\lambda_{i}}$となるので$X=\bigcup_{x\in X}\left\{ x\right\} \subseteq\bigcup_{i\in\mathbb{N}}B_{n_{i}}\subseteq\bigcup_{i\in\mathbb{N}}U_{\lambda_{i}}$となり可算開被覆を持つのでリンデレフ空間となる。
これより$\Rightarrow$が成り立つ。