包含写像・射影・商写像は連続写像
包含写像・射影・商写像は連続写像となる。
包含写像・射影・商写像は連続写像となる。
(1)
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)と部分集合\(A\subseteq X\)があるとき、包含写像\(\iota:A\rightarrow X\)は連続写像となる。(2)
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{X}\right),\left(Y,\mathcal{O}_{Y}\right)\)があるとき、射影\(\pi_{X}:X\times Y\rightarrow X\)は連続写像となる。(3)
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)と商集合\(X\setminus\sim\)があるとき、商写像\(f:X\rightarrow X\setminus\sim\)は連続写像となる。(1)
\(A\)での部分位相\(\left(A,\mathcal{O}_{A}\right)\)は\(\mathcal{O}_{A}=\left\{ O\cap A;O\in\mathcal{O}\right\} \)なので、任意の\(O\in\mathcal{O}\)に対し、\(\iota^{\bullet}\left(O\right)=A\cap O\in\mathcal{O}_{A}\)となるので\(\iota\)は連続写像になる。(2)
\(Y\in\mathcal{O}_{Y}\)であり、\(X\times Y\)での位相を\(\mathcal{O}_{X\times Y}\)とする。任意の\(O_{X}\in\mathcal{O}_{X}\)に対し、\(O_{X}\times Y\)は\(\mathcal{O}_{X\times Y}\)の開基になるので\(\pi_{X}^{\bullet}\left(O_{X}\right)=O_{X}\times Y\in\mathcal{O}_{X\times Y}\)となり、\(\pi_{X}\)は連続写像になる。
(3)
\(X\setminus\sim\)の開集合全体の集合は\(\mathcal{O}_{X\setminus\sim}=\left\{ O_{X\setminus\sim};f^{\bullet}\left(O_{X\setminus\sim}\right)\in\mathcal{O}_{X}\right\} \)なので連続写像となる。
ページ情報
| タイトル | 包含写像・射影・商写像は連続写像 |
| URL | https://www.nomuramath.com/fg4a1dnk/ |
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2つの集合族同士の演算
\[
\left(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap\left(\prod_{\mu\in\Lambda}B_{\mu}\right)=\prod_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B_{\lambda}\right)
\]
和集合・積集合の元とそれぞれの集合との関係
\[
a\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\Leftrightarrow\bigvee_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda}
\]
直積集合の性質
\[
\left(A\times B\right)^{c}=\left(A^{c}\times B^{c}\right)\cup\left(A^{c}\times B\right)\cup\left(A\times B^{c}\right)
\]
直積集合の定義
\[
A\times B:=\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\right\}
\]