開基の基本性質
開基の基本性質
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)で\(\mathcal{B}\)が開基であることと、任意の開集合\(O\in\mathcal{O}\)と任意の元\(x\in O\)に対し、ある\(\mathcal{B}\)の元\(B\in\mathcal{B}\)が存在し、\(x\in B\subseteq O\)となることは同値である。
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)で\(\mathcal{B}\)が開基であることと、任意の開集合\(O\in\mathcal{O}\)と任意の元\(x\in O\)に対し、ある\(\mathcal{B}\)の元\(B\in\mathcal{B}\)が存在し、\(x\in B\subseteq O\)となることは同値である。
\(\Rightarrow\)
条件より\(\mathcal{B}\)は開基なので、任意の開集合\(O\in\mathcal{O}\)に対し、\(\mathcal{B}\)のある部分集合\(\left\{ B_{\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} \subseteq\mathcal{B}\)が存在し\(O=\bigcup\left\{ B_{\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}\)となる。従って任意の元\(x\in O\)に対し、ある\(\lambda\in\Lambda\)が存在し、\(x\in B_{\lambda}\)となる。
これより\(O=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B_{\lambda}\)なので\(B_{\lambda}\subseteq O\)となり、\(x\in B_{\lambda}\subseteq O\)となる。
故に\(\Rightarrow\)が成り立つ。
\(\Leftarrow\)
条件より、任意の開集合\(O\in\mathcal{O}\)と任意の元\(x\in O\)に対し、ある\(\mathcal{B}\)の元\(B_{x}\in\mathcal{B}\)が存在し、\(x\in B_{x}\subseteq O\)となる。これより、任意の開集合\(O\)に対して、\(O=\bigcup_{x\in O}B_{x}\)とできるので\(\mathcal{B}\)は開基となる。
故に\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\(\Leftrightarrow\)
これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。ページ情報
タイトル | 開基の基本性質 |
URL | https://www.nomuramath.com/ezz4tc0h/ |
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ヘヴィサイドの階段関数の負数・和・差
\[
H_{a}\left(-x\right)=-H_{a}\left(x\right)+1+\left(2a-1\right)\delta_{0,x}
\]
二項係数とベータ関数を含む極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}4^{n}B(n,n)=2\sqrt{\pi}
\]
『絶対値の冪乗』を更新しました。
ハイパー演算子の優先順位
\[
I_{n+1}\left(a,b\right)=I_{n+1}\left(a,b-1\right)^{\left(n\right)}a
\]