積位相(直積位相)の定義
積位相(直積位相)の定義
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{X}\right),\left(Y,\mathcal{O}_{Y}\right)\)が与えられたとき、集合を\(X\times Y\)で開基を\(\left\{ O_{X}\times O_{Y};O_{x}\in\mathcal{O}_{X},O_{y}\in\mathcal{O}_{y}\right\} \)とすると位相空間となり、これを積位相という。
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{X}\right),\left(Y,\mathcal{O}_{Y}\right)\)が与えられたとき、集合を\(X\times Y\)で開基を\(\left\{ O_{X}\times O_{Y};O_{x}\in\mathcal{O}_{X},O_{y}\in\mathcal{O}_{y}\right\} \)とすると位相空間となり、これを積位相という。
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{X}\right),\left(Y,\mathcal{O}_{Y}\right)\)が与えられたとき、\(\left(X\times Y,\left\{ O_{X}\times O_{Y};O_{x}\in\mathcal{O}_{X},O_{y}\in\mathcal{O}_{y}\right\} \right)\)は位相空間にならないので注意。
例えば\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)と\(\left(\left\{ c,d\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ c\right\} ,\left\{ c,d\right\} \right\} \right)\)のとき、
\begin{align*} \left\{ O_{X}\times O_{y};O_{X}\in\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} ,O_{y}\in\left\{ \emptyset,\left\{ c\right\} ,\left\{ c,d\right\} \right\} \right\} & =\left\{ \left\{ a\right\} \times\left\{ c\right\} ,\left\{ a\right\} \times\left\{ c,d\right\} ,\left\{ a,b\right\} \times\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b\right\} \times\left\{ c,d\right\} \right\} \\ & =\left\{ \left(a,c\right),\left\{ \left(a,c\right),\left(a,d\right)\right\} ,\left\{ \left(a,c\right),\left(b,c\right)\right\} ,\left\{ \left(a,c\right),\left(a,d\right),\left(b,c\right),\left(b,d\right)\right\} \right\} \end{align*} となるが、\(\left\{ \left(a,c\right),\left(a,d\right)\right\} \cup\left\{ \left(a,c\right),\left(b,c\right)\right\} =\left\{ \left(a,c\right),\left(a,d\right),\left(b,c\right)\right\} \)は含まれていない。
これより、\(\left(X\times Y,\left\{ O_{X}\times O_{Y};O_{x}\in\mathcal{O}_{X},O_{y}\in\mathcal{O}_{y}\right\} \right)\)は位相空間にならない。
例えば\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)と\(\left(\left\{ c,d\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ c\right\} ,\left\{ c,d\right\} \right\} \right)\)のとき、
\begin{align*} \left\{ O_{X}\times O_{y};O_{X}\in\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} ,O_{y}\in\left\{ \emptyset,\left\{ c\right\} ,\left\{ c,d\right\} \right\} \right\} & =\left\{ \left\{ a\right\} \times\left\{ c\right\} ,\left\{ a\right\} \times\left\{ c,d\right\} ,\left\{ a,b\right\} \times\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b\right\} \times\left\{ c,d\right\} \right\} \\ & =\left\{ \left(a,c\right),\left\{ \left(a,c\right),\left(a,d\right)\right\} ,\left\{ \left(a,c\right),\left(b,c\right)\right\} ,\left\{ \left(a,c\right),\left(a,d\right),\left(b,c\right),\left(b,d\right)\right\} \right\} \end{align*} となるが、\(\left\{ \left(a,c\right),\left(a,d\right)\right\} \cup\left\{ \left(a,c\right),\left(b,c\right)\right\} =\left\{ \left(a,c\right),\left(a,d\right),\left(b,c\right)\right\} \)は含まれていない。
これより、\(\left(X\times Y,\left\{ O_{X}\times O_{Y};O_{x}\in\mathcal{O}_{X},O_{y}\in\mathcal{O}_{y}\right\} \right)\)は位相空間にならない。
ページ情報
| タイトル | 積位相(直積位相)の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/azi0un9h/ |
| SNSボタン |
符号関数の符号関数
\[
\sgn\left(\sgn^{b}\left(\alpha\right)\right)=\sgn^{b}\left(\alpha\right)
\]
整除関係と大小関係
\[
\forall a,b\in\mathbb{N},a\mid b\rightarrow a\leq b
\]
mzp関数の定義と負数の関係
\[
\mzp_{a,b}\left(x_{1},x_{2};-x\right)=-\mzp_{-b,-a}\left(-x_{2},-x_{1};x\right)
\]
第2種不完全ガンマ関数とガンマ関数の比の極限
\[
\lim_{k\rightarrow0}\frac{\Gamma\left(k,x\right)}{\Gamma\left(k\right)}=\delta_{0x}
\]