和集合・積集合の元とそれぞれの集合との関係
集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)があるとする。
集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)があるとする。
(1)
\[ a\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\Leftrightarrow\bigvee_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda} \](2)
\[ a\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\Leftrightarrow\bigwedge_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda} \](1)
\(\Rightarrow\)
\(a\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)は\(a\)が\(A_{\lambda}\)のどれかの要素に含まれているということで、これは\(\lambda\in\Lambda\)について\(a\in A_{\lambda}\)が1つでも満たしていればいいので\(\bigvee_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda}\)となる。\(\Leftarrow\)
\(\bigvee_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda}\) は\(\lambda\in\Lambda\)について\(a\in A_{\lambda}\)が1つでも満たしていればよく、これは\(a\)が\(A_{\lambda}\)のどれかの要素に含まれているということなので\(a\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)となる。\(\Leftrightarrow\)
これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)となる。(2)
\(\Rightarrow\)
\(a\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)は全ての\(A_{\lambda}\)が\(a\)を要素に持つということで、これは\(\lambda\in\Lambda\)について全ての\(a\in A_{\lambda}\)を満たさなくてはいけないので\(\bigwedge_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda}\)となる。\(\Leftarrow\)
\(\bigwedge_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda}\) は\(\lambda\in\Lambda\)について全ての\(a\in A_{\lambda}\)を満たさなければいけなく、これは全ての\(A_{\lambda}\)が\(a\)を要素に持つということなので\(a\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)となる。\(\Leftrightarrow\)
これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)となる。
ページ情報
| タイトル | 和集合・積集合の元とそれぞれの集合との関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/vrmp6u0y/ |
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集合列と非交和
\[
\bigcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }A_{k}=\bigsqcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(A_{k}\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}A_{j}\right)
\]
集合列と和集合・積集合
\[
\bigcap_{1\leq j<k\leq n}\left(A_{j}\cup A_{k}\right)=\bigcup_{1\leq j\leq n}\bigcap_{1\leq k\leq n,k\ne j}A_{k}
\]
単調増加列・単調減少列同士の積集合と和集合
\[
A_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}},B_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}}\Rightarrow\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}
\]
集合列の和集合と積集合の包含関係
\[
\forall m,n\in\mathbb{N},\bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}\subseteq\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}
\]