配置集合
集合\(A\)から集合\(B\)への写像を全て集めた集合を\(A\)から\(B\)の配置集合といい、\(B^{A}\)で表す。
配置集合の濃度
\(A\)と\(B\)が有限集合なら
\[ \left|B^{A}\right|=\left|B\right|^{\left|A\right|} \] となる。
\(A\)の各元に対し\(\left|B\right|\)通りの選択があるので、\(\left|B^{A}\right|=\left|B\right|^{\left|A\right|}\)となる。
配置集合は\(map\left(A,B\right)\)でも表される。

\(A\ne\emptyset,B=\emptyset\)のとき、\(A\)から\(B\)の写像は存在しなくて、\(B^{A}=\emptyset\)となる。
\(B\)は空集合でも空集合でなくてもよくて、\(A=\emptyset\)のとき、\(A\)から\(B\)の写像を空写像といい、\(B^{A}=\left\{ \emptyset\right\} \)となり、これは空写像という写像が存在するということである。

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mapとhomの違いはmapは写像全体であり、homは線形写像全体である。

\(A=\left\{ a_{1},a_{2}\right\} ,B=\left\{ b_{1},b_{2}\right\} \)とすると\(B^{A}=\left\{ \left\{ a_{1}\mapsto b_{1},a_{2}\mapsto b_{1}\right\} ,\left\{ a_{1}\mapsto b_{1},a_{2}\mapsto b_{2}\right\} ,\left\{ a_{1}\mapsto b_{2},a_{2}\mapsto b_{1}\right\} ,\left\{ a_{1}\mapsto b_{2},a_{2}\mapsto b_{2}\right\} \right\} \)となる。
\(A=\left\{ a\right\} ,B=\emptyset\)とすると\(B^{A}=\emptyset\)となる。
\(A=\emptyset,B=\left\{ b\right\} \)とすると\(B^{A}=\left\{ \emptyset\right\} \)となる。
\(A=\emptyset,B=\emptyset\)とすると\(B^{A}=\left\{ \emptyset\right\} \)となる。

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タイトル	配置集合
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集合列と非交和

\[ \bigcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }A_{k}=\bigsqcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(A_{k}\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}A_{j}\right) \]

集合列と和集合・積集合

\[ \bigcap_{1\leq j<k\leq n}\left(A_{j}\cup A_{k}\right)=\bigcup_{1\leq j\leq n}\bigcap_{1\leq k\leq n,k\ne j}A_{k} \]

単調増加列・単調減少列同士の積集合と和集合

\[ A_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}},B_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}}\Rightarrow\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k} \]

集合列の和集合と積集合の包含関係

\[ \forall m,n\in\mathbb{N},\bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}\subseteq\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k} \]