正弦定理
\[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\]
傍心円の半径
\[r_{a}=\frac{S}{s-a}\]
3角形の垂心と円に内接する4角形
重心は中線を2:1に内分
3角形の面積を外接円・内接円の半径を使って表示
\begin{align*}S & =\frac{abc}{4R}\\ & =\frac{1}{2}r\left(a+b+c\right)\\ & =2R^{2}\sin A\sin B\sin C\\ & =rR\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)\end{align*}
『定義関数の定義と性質』を更新しました。
5心(重心・垂心・内心・外心・傍心)の位置
\[\boldsymbol{H}=\frac{\tan A\boldsymbol{A}+\tan B\boldsymbol{B}+\tan C\boldsymbol{C}}{\tan A\tan B\tan C}\]
5心(重心・内心・外心・垂心・傍心)の定義と存在性
多角形での内接円の半径
\[r=\frac{S}{s}\]
3角形の面積と位置ベクトル
\[\boldsymbol{X}=\frac{p\boldsymbol{A}+q\boldsymbol{B}+r\boldsymbol{C}}{p+q+r}\]
ヘロンの公式
\[S=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\]
円に外接する4角形の面積
\[S=\sqrt{abcd}\sin\frac{A+C}{2}\]
『分離公理(距離・正規・正則・T2・T1・T0・その他)同士の関係』を更新しました。
『分離公理(T0・T1・T2・T3・T4・正則・正規・その他)の定義』を更新しました。
ブラーマグプタの公式
\[S=\sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)}\]
4角形が円に外接するときの対辺の和
\[\left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|+\left|\overrightarrow{DA}\right|\]
ブレートシュナイダーの公式
\[S=\sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)-abcd\cos^{2}\frac{A+C}{2}}\]
4角形の対角線と面積の関係
\[S=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{DB}\right)\]
『ハウスドルフ空間とT1空間の点列の極限点』を更新しました。
トレミーの定理
\[\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right|\]
『第1可算と第2可算の定義と性質』を更新しました。
オイラーの定理
\[p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos\left(A+C\right)\]
『近傍・開近傍・近傍系・開近傍系・基本近傍系・開基・準開基の定義と性質』を更新しました。
『第2可算ならば第1可算』を更新しました。
『積位相(直積位相)の定義と性質』を更新しました。
4角形の対辺同士の内積
\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\left(b^{2}+d^{2}-p^{2}-q^{2}\right)\]
3角関数・双曲線関数の無限乗積展開
\[\sin\left(\pi z\right)=\pi z\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right)\]
リーマン・ゼータ関数(フルヴィッツ・ゼータ関数)のローラン展開時のスティルチェス定数(一般化スティルチェス定数)
\[\gamma_{k}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\left(\sum_{j=1}^{n}\frac{\log^{k}j}{j}\right)-\frac{\log^{k+1}n}{k+1}\right)\]
リーマン・ゼータ関数のローラン展開
\[\zeta\left(s\right)=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{2}-s\int_{1}^{n}\frac{t-\left\lfloor t\right\rfloor -\frac{1}{2}}{t^{s+1}}dt\]
アーベルの級数変形法とアーベルの総和公式
\[\sum_{k=\left\lceil x\right\rceil }^{\left\lfloor y\right\rfloor }a_{k}b\left(k\right)=A\left(y\right)b\left(y\right)-\int_{x}^{y}A\left(t\right)b'\left(t\right)dt\]