オイラーの定理
オイラーの定理
4角形ABCDがある。
各辺の長さを\(\left|\overrightarrow{AB}\right|=a,\left|\overrightarrow{BC}\right|=b,\left|\overrightarrow{CD}\right|=c,\left|\overrightarrow{DA}\right|=d\)として、対角線を\(\left|\overrightarrow{AC}\right|=p,\left|\overrightarrow{BD}\right|=q\)とすると、
\[ p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos\left(A+C\right) \] となる。
4角形ABCDがある。
各辺の長さを\(\left|\overrightarrow{AB}\right|=a,\left|\overrightarrow{BC}\right|=b,\left|\overrightarrow{CD}\right|=c,\left|\overrightarrow{DA}\right|=d\)として、対角線を\(\left|\overrightarrow{AC}\right|=p,\left|\overrightarrow{BD}\right|=q\)とすると、
\[ p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos\left(A+C\right) \] となる。
\begin{align*}
abcd\cos\left(A+C\right) & =abcd\cos A\cos C-abcd\sin A\sin C\\
& =\left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CB}\right)-\left(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\right)\cdot\left(\overrightarrow{CD}\times\overrightarrow{CB}\right)\\
& =\left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CB}\right)-\overrightarrow{CD}\cdot\left(\overrightarrow{CB}\times\left(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\right)\right)\\
& =\left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CB}\right)-\left(\left(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AB}\right)\left(\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{AD}\right)-\left(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{AB}\right)\right)\\
& =\left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CB}\right)-\left(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AB}\right)\left(\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{AD}\right)+\left(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{AB}\right)\\
& =\frac{1}{4}\left(a^{2}+d^{2}-q^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}-q^{2}\right)-\left(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AB}\right)\left(\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{AD}\right)+\frac{1}{4}\left(c^{2}+d^{2}-p^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}-p^{2}\right)\\
& =\frac{1}{4}\left\{ p^{4}+q^{4}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}\right)+\left(a^{2}+d^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)+\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)\right\} -\left(\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{AB}\right)\left(\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{AD}\right)
\end{align*}
右辺最終項は対辺同士の内積で、
\begin{align*} \left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}\right)\left(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{CB}\right) & =\frac{1}{2}\left(b^{2}+d^{2}-p^{2}-q^{2}\right)\frac{1}{2}\left(a^{2}+c^{2}-p^{2}-q^{2}\right)\\ & =\frac{1}{4}\left\{ \left(p^{2}+q^{2}\right)^{2}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}\right)+\left(a^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+d^{2}\right)\right\} \end{align*} となるので、
\begin{align*} abcd\cos\left(A+C\right) & =\frac{1}{4}\left\{ -2p^{2}q^{2}+\left(a^{2}+d^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)+\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(a^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+d^{2}\right)\right\} \\ & =\frac{1}{4}\left\{ -2p^{2}q^{2}+2\left(a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}\right)\right\} \\ & =\frac{1}{2}\left\{ -p^{2}q^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}\right\} \end{align*} 故に、
\[ p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos\left(A+C\right) \]
\begin{align*} \left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}\right)\left(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{CB}\right) & =\frac{1}{2}\left(b^{2}+d^{2}-p^{2}-q^{2}\right)\frac{1}{2}\left(a^{2}+c^{2}-p^{2}-q^{2}\right)\\ & =\frac{1}{4}\left\{ \left(p^{2}+q^{2}\right)^{2}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)\left(p^{2}+q^{2}\right)+\left(a^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+d^{2}\right)\right\} \end{align*} となるので、
\begin{align*} abcd\cos\left(A+C\right) & =\frac{1}{4}\left\{ -2p^{2}q^{2}+\left(a^{2}+d^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}\right)+\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)-\left(a^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+d^{2}\right)\right\} \\ & =\frac{1}{4}\left\{ -2p^{2}q^{2}+2\left(a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}\right)\right\} \\ & =\frac{1}{2}\left\{ -p^{2}q^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}\right\} \end{align*} 故に、
\[ p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos\left(A+C\right) \]
ページ情報
| タイトル | オイラーの定理 |
| URL | https://www.nomuramath.com/olvwxnpu/ |
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重心・垂心・外心の関係
\[
\boldsymbol{H}+2\boldsymbol{J}=3\boldsymbol{G}
\]
傍心円の半径
\[
r_{a}=\frac{S}{s-a}
\]
正弦定理
\[
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R
\]
3角形の成立条件
\[
\text{3角形の3辺の長さが}a,b,c\Leftrightarrow\left|b-c\right|<a<b+c
\]