トレミーの定理
トレミーの定理
4角形ABCDが円に内接してるとき、
\[ \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right| \] が成り立つ。
4角形ABCDが円に内接してるとき、
\[ \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right| \] が成り立つ。
(0)
4角形ABCDが円に内接しているので、対頂角の和は180°になるので\(\cos\left(A+C\right)=-1\)となる。オイラーの定理より、
\begin{align*} \left|\overrightarrow{BD}\right|^{2}\left|\overrightarrow{CA}\right|^{2} & =\left|\overrightarrow{AB}\right|^{2}\left|\overrightarrow{CD}\right|^{2}+\left|\overrightarrow{BC}\right|^{2}\left|\overrightarrow{DA}\right|^{2}-2\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|\cos\left(A+C\right)\\ & =\left|\overrightarrow{AB}\right|^{2}\left|\overrightarrow{CD}\right|^{2}+\left|\overrightarrow{BC}\right|^{2}\left|\overrightarrow{DA}\right|^{2}+2\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|\\ & =\left(\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|\right)^{2} \end{align*} これより、辺の長さは正なので、
\begin{align*} \left|\overrightarrow{BD}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right| & =\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right| \end{align*} となる。
(0)-2
\begin{align*} \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right| & =\left|\overrightarrow{AB}\right|\left(\frac{\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CD}}{\left|\overrightarrow{CD}\right|}\right)+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left(\frac{\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DA}}{\left|\overrightarrow{DA}\right|}\right)\\ & =\left|\overrightarrow{AB}\right|\left(\frac{\overrightarrow{CD}\cdot\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}\right)}{\left|\overrightarrow{CD}\right|}\right)+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left(\frac{\overrightarrow{DA}\cdot\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BA}\right)}{\left|\overrightarrow{DA}\right|}\right)\\ & =\left|\overrightarrow{AB}\right|\left(\left|\overrightarrow{CB}\right|\frac{\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CB}}{\left|\overrightarrow{CD}\right|\left|\overrightarrow{CB}\right|}+\left|\overrightarrow{BD}\right|\frac{\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{BD}}{\left|\overrightarrow{CD}\right|\left|\overrightarrow{BD}\right|}\right)+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left(\left|\overrightarrow{DB}\right|\frac{\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}}{\left|\overrightarrow{DA}\right|\left|\overrightarrow{DB}\right|}+\left|\overrightarrow{BA}\right|\frac{\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{BA}}{\left|\overrightarrow{DA}\right|\left|\overrightarrow{BA}\right|}\right)\\ & =\left|\overrightarrow{AB}\right|\left(-\left|\overrightarrow{CB}\right|\frac{\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AD}\right|\left|\overrightarrow{AB}\right|}+\left|\overrightarrow{BD}\right|\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BA}}{\left|\overrightarrow{CA}\right|\left|\overrightarrow{BA}\right|}\right)+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left(\left|\overrightarrow{DB}\right|\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}}{\left|\overrightarrow{CA}\right|\left|\overrightarrow{CB}\right|}+\left|\overrightarrow{BA}\right|\frac{\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{BA}}{\left|\overrightarrow{DA}\right|\left|\overrightarrow{BA}\right|}\right)\\ & =-\left|\overrightarrow{CB}\right|\frac{\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AD}\right|}+\left|\overrightarrow{BD}\right|\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BA}}{\left|\overrightarrow{CA}\right|}+\left|\overrightarrow{DB}\right|\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}}{\left|\overrightarrow{CA}\right|}+\left|\overrightarrow{BC}\right|\frac{\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{BA}}{\left|\overrightarrow{DA}\right|}\\ & =\left|\overrightarrow{BD}\right|\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}\right)}{\left|\overrightarrow{CA}\right|}\\ & =\left|\overrightarrow{BD}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right| \end{align*}ページ情報
タイトル | トレミーの定理 |
URL | https://www.nomuramath.com/xcdj7s72/ |
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ヘロンの公式
\[
S=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}
\]
多角形での内接円の半径
\[
r=\frac{S}{s}
\]
ブラーマグプタの公式
\[
S=\sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)}
\]
傍心円の半径
\[
r_{a}=\frac{S}{s-a}
\]