トレミーの定理
トレミーの定理
\[ \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right| \] が成り立つ。
\[ \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right| \] を満たすとき、ある円が存在し内接している。
(1)トレミーの定理
4角形\(ABCD\)が円に内接してるとき、\[ \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right| \] が成り立つ。
(2)トレミーの定理の逆
4角形\(ABCD\)が\[ \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right| \] を満たすとき、ある円が存在し内接している。
(1)
1辺の長さが1の正方形\(ABCD\)は\[ \left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{DA}\right|=1 \] \[ \left|\overrightarrow{BD}\right|=\left|\overrightarrow{CA}\right|=\sqrt{2} \] であり、円に内接していているのでトレミーの定理
\begin{align*} \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right| & =1+1\\ & =2\\ & =\left(\sqrt{2}\right)^{2}\\ & =\left|\overrightarrow{BD}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right| \end{align*} が成り立っている。
(2)
4角形\(ABCD\)が\[ \left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{CD}\right|=a \] \[ \left|\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{DA}\right|=b \] の長方形であるとき、対角線の長さは
\[ \left|\overrightarrow{BD}\right|=\left|\overrightarrow{CA}\right|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \] であり、円に内接していているのでトレミーの定理
\begin{align*} \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right| & =a^{2}+b^{2}\\ & =\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\right)^{2}\\ & =\left|\overrightarrow{BD}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right| \end{align*} が成り立っている。
(1)
4角形\(ABCD\)が円に内接しているので、対頂角の和は180°になるので\(\cos\left(A+C\right)=-1\)となる。オイラーの定理より、
\begin{align*} \left|\overrightarrow{BD}\right|^{2}\left|\overrightarrow{CA}\right|^{2} & =\left|\overrightarrow{AB}\right|^{2}\left|\overrightarrow{CD}\right|^{2}+\left|\overrightarrow{BC}\right|^{2}\left|\overrightarrow{DA}\right|^{2}-2\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|\cos\left(A+C\right)\\ & =\left|\overrightarrow{AB}\right|^{2}\left|\overrightarrow{CD}\right|^{2}+\left|\overrightarrow{BC}\right|^{2}\left|\overrightarrow{DA}\right|^{2}+2\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|\\ & =\left(\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|\right)^{2} \end{align*} これより、辺の長さは正なので、
\begin{align*} \left|\overrightarrow{BD}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right| & =\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right| \end{align*} となる。
(1)-2
\begin{align*} \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right| & =\left|\overrightarrow{AB}\right|\left(\frac{\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CD}}{\left|\overrightarrow{CD}\right|}\right)+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left(\frac{\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DA}}{\left|\overrightarrow{DA}\right|}\right)\\ & =\left|\overrightarrow{AB}\right|\left(\frac{\overrightarrow{CD}\cdot\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}\right)}{\left|\overrightarrow{CD}\right|}\right)+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left(\frac{\overrightarrow{DA}\cdot\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BA}\right)}{\left|\overrightarrow{DA}\right|}\right)\\ & =\left|\overrightarrow{AB}\right|\left(\left|\overrightarrow{CB}\right|\frac{\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{CB}}{\left|\overrightarrow{CD}\right|\left|\overrightarrow{CB}\right|}+\left|\overrightarrow{BD}\right|\frac{\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{BD}}{\left|\overrightarrow{CD}\right|\left|\overrightarrow{BD}\right|}\right)+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left(\left|\overrightarrow{DB}\right|\frac{\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}}{\left|\overrightarrow{DA}\right|\left|\overrightarrow{DB}\right|}+\left|\overrightarrow{BA}\right|\frac{\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{BA}}{\left|\overrightarrow{DA}\right|\left|\overrightarrow{BA}\right|}\right)\\ & =\left|\overrightarrow{AB}\right|\left(-\left|\overrightarrow{CB}\right|\frac{\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AD}\right|\left|\overrightarrow{AB}\right|}+\left|\overrightarrow{BD}\right|\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BA}}{\left|\overrightarrow{CA}\right|\left|\overrightarrow{BA}\right|}\right)+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left(\left|\overrightarrow{DB}\right|\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}}{\left|\overrightarrow{CA}\right|\left|\overrightarrow{CB}\right|}+\left|\overrightarrow{BA}\right|\frac{\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{BA}}{\left|\overrightarrow{DA}\right|\left|\overrightarrow{BA}\right|}\right)\\ & =-\left|\overrightarrow{CB}\right|\frac{\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AD}\right|}+\left|\overrightarrow{BD}\right|\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BA}}{\left|\overrightarrow{CA}\right|}+\left|\overrightarrow{DB}\right|\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}}{\left|\overrightarrow{CA}\right|}+\left|\overrightarrow{BC}\right|\frac{\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{BA}}{\left|\overrightarrow{DA}\right|}\\ & =\left|\overrightarrow{BD}\right|\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}\right)}{\left|\overrightarrow{CA}\right|}\\ & =\left|\overrightarrow{BD}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right| \end{align*}(2)
与式\[ \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|\left|\overrightarrow{CA}\right| \] の両辺を2乗すると、
\[ \left|\overrightarrow{BD}\right|^{2}\left|\overrightarrow{CA}\right|^{2}=\left|\overrightarrow{AB}\right|^{2}\left|\overrightarrow{CD}\right|^{2}+\left|\overrightarrow{BC}\right|^{2}\left|\overrightarrow{DA}\right|^{2}+2\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right| \] となる。
また、オイラーの定理より、
\begin{align*} \left|\overrightarrow{BD}\right|^{2}\left|\overrightarrow{CA}\right|^{2} & =\left|\overrightarrow{AB}\right|^{2}\left|\overrightarrow{CD}\right|^{2}+\left|\overrightarrow{BC}\right|^{2}\left|\overrightarrow{DA}\right|^{2}-2\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|\cos\left(A+C\right) \end{align*} が成り立つ。
これらの辺々を引くと、
\[ \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|+\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{CD}\right|\left|\overrightarrow{DA}\right|\cos\left(A+C\right)=0 \] となるので、
\[ \cos\left(A+C\right)=-1 \] となる。
これより、\(A+C<360\)より\(A+C=180^{\circ}\)となるので、4角形\(ABCD\)はある円の内接円になっている。
従って題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | トレミーの定理 |
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3角形の面積と位置ベクトル
\[
\boldsymbol{X}=\frac{p\boldsymbol{A}+q\boldsymbol{B}+r\boldsymbol{C}}{p+q+r}
\]
4角形の対辺同士の内積
\[
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\left(b^{2}+d^{2}-p^{2}-q^{2}\right)
\]
ブラーマグプタの公式
\[
S=\sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)}
\]
ヘロンの公式
\[
S=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}
\]