傍心円の半径
傍心円の半径
3角形\(ABC\)があり頂点\(A,B,C\)の対辺の長さを\(a,b,c\)とする。
傍心円の半径は
\[ r_{a}=\frac{S}{s-a} \] \[ r_{b}=\frac{S}{s-b} \] \[ r_{c}=\frac{S}{s-c} \] となる。
ここで\(S\)は3角形の面積、\(s\)は半周長\(s=\frac{a+b+c}{2}\)である。

3角形\(ABC\)があり頂点\(A,B,C\)の対辺の長さを\(a,b,c\)とする。
傍心円の半径は
\[ r_{a}=\frac{S}{s-a} \] \[ r_{b}=\frac{S}{s-b} \] \[ r_{c}=\frac{S}{s-c} \] となる。
ここで\(S\)は3角形の面積、\(s\)は半周長\(s=\frac{a+b+c}{2}\)である。
傍心を\(I_{a},I_{b},I_{c}\)とする。
\begin{align*} S & =\left|ABC\right|\\ & =\left|ABI_{a}\right|+\left|ACI_{a}\right|-\left|ABI_{a}\right|\\ & =\frac{1}{2}cr_{a}+\frac{1}{2}br_{b}-\frac{1}{2}ar_{c}\\ & =\frac{1}{2}\left(c+b-a\right)r_{a}\\ & =\left(s-a\right)r_{a} \end{align*} これより、
\[ r_{a}=\frac{S}{s-a} \] 同様に、
\[ r_{b}=\frac{S}{s-b} \] \[ r_{c}=\frac{S}{s-c} \]
\begin{align*} S & =\left|ABC\right|\\ & =\left|ABI_{a}\right|+\left|ACI_{a}\right|-\left|ABI_{a}\right|\\ & =\frac{1}{2}cr_{a}+\frac{1}{2}br_{b}-\frac{1}{2}ar_{c}\\ & =\frac{1}{2}\left(c+b-a\right)r_{a}\\ & =\left(s-a\right)r_{a} \end{align*} これより、
\[ r_{a}=\frac{S}{s-a} \] 同様に、
\[ r_{b}=\frac{S}{s-b} \] \[ r_{c}=\frac{S}{s-c} \]
ページ情報
タイトル | 傍心円の半径 |
URL | https://www.nomuramath.com/ivr79hcq/ |
SNSボタン |
3角形の面積と位置ベクトル
\[
\boldsymbol{X}=\frac{p\boldsymbol{A}+q\boldsymbol{B}+r\boldsymbol{C}}{p+q+r}
\]
円となるための条件
\[
\frac{a^{2}+b^{2}}{4}-c>0
\]
5心(重心・内心・外心・垂心・傍心)の定義
4角形が円に外接するときの対辺の和
\[
\left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|+\left|\overrightarrow{DA}\right|
\]